2025届河南省南阳市数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025届河南省南阳市数学高一第二学期期末统考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列满足，，则数列的前5项和（ ）
A．15 B．28 C．45 D．66
2．如下图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
3．设且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则
A．-1 B．1 C．l n2 D．-ln2
5．若圆与圆外切，则（ ）
A．21 B．19 C．9 D．-11
6．已知圆的方程为，则圆心坐标为 （ ）
A． B． C． D．
7．正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为( )
A．10 B．24 C．36 D．40
8．若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )
A．9 B．18 C．27 D．36
10．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则________.
12．函数的定义域________．
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.

14．在锐角中，则的值等于 ．
15．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
16．已知两点，则线段的垂直平分线的方程为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量(单位:千辆/小时)与汽车的平均速度(单位:千米/小时)之间满足的函数关系（为常数），当汽车的平均速度为千米/小时时，车流量为千辆/小时.
（1）在该时间段内，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？
（2）为保证在该时间段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
18．已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l所示：
表1

根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，在推广期内，(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
参考数据：

其中
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
20．从全校参加科技知识竞赛初赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右各小组的小长方形的高之比是，最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：

（1）样本的容量是多少?
（2）求样本中成绩在分的学生人数；
（3）从样本中成绩在90.5分以上的同学中随机地抽取2人参加决赛，求最高分甲被抽到的概率.
21．在中,为上的点, 为上的点,且 .
（1）求的长;
（2）若,求的余弦值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.
【详解】
因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.
故.
故选：C
本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.
2、B
【解析】
作出异面直线PA与BC所成角，结合三角形的知识可求.
【详解】
取的中点，连接，如图，

因为，，所以四边形是平行四边形，所以；
所以或其补角是异面直线PA与BC所成角；
设，则,；
因为，所以；
因为平面ABCD，所以,
在三角形中，.
故选：B.
本题主要考查异面直线所成角的求解，作出异面直线所成角，结合三角形知识可求.侧重考查直观想象的核心素养.
3、A
【解析】
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．
4、C
【解析】
先把化为，再根据公式和求解.
【详解】

故选C.
本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系.
5、C
【解析】
试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
6、C
【解析】
试题分析：的方程变形为，圆心为
考点：圆的方程
7、B
【解析】
设正四棱柱，设底面边长为，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于的方程.
【详解】
如图，正四棱柱，设底面边长为，

则，解得：，
所以正四棱柱的侧面积.
本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体的侧面积计算.
8、A
【解析】
渐近线为，时，，所以，即，，，故选A．
9、B
【解析】
试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．
设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是
用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．
考点：分层抽样
点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过
10、C
【解析】
试题分析：可采用排除法，令和，验证选项，只有，使得，故选C．
考点：数列的通项公式．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由可得，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值
【详解】
因为
所以

故答案为：
本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.
12、.
【解析】
根据反正弦函数的定义得出，解出可得出所求函数的定义域.
【详解】
由反正弦的定义可得，解得，
因此，函数的定义域为，故答案为：.
本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
13、1
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
S=1，i=1
满足条件S<40，执行循环体，S=3，i=2
满足条件S<40，执行循环体，S=7，i=3
满足条件S<40，执行循环体，S=15，i=4
满足条件S<40，执行循环体，S=31，i=5
满足条件S<40，执行循环体，S=13，i=1
此时，不满足条件S<40，退出循环，输出i的值为1．
故答案为：1．
本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
14、2
【解析】
设由正弦定理得
15、.
【解析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
16、
【解析】
求出直线的斜率和线段的中点，利用两直线垂直时斜率之积为可得出线段的垂直平分线的斜率，然后利用点斜式可写出中垂线的方程．
【详解】
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线的斜率为，其方程为，即.
故答案为.
本题考查线段垂直平分线方程的求解，有如下两种方法求解：
（1）求出中垂线的斜率和线段的中点，利用点斜式得出中垂线所在直线方程；
（2）设动点坐标为，利用动点到线段两端点的距离相等列式求出动点的轨迹方程，即可作为中垂线所在直线的方程．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当汽车的平均速度时车流量达到最大值。（2）
【解析】
（1）首先根据题意求出，再利用基本不等式即可求出答案.
（2）根据题意列出不等式，解不等式即可.
【详解】
（1）有题知：，解得.
所以，
因为，当且仅当时，取“”.
所以当汽车的平均速度时车流量达到最大值.
（2）有题知：，
整理得：，解得：.
所以当时，在该时间段内车流量至少为千辆/小时.
本题第一问考查利用基本不等式求最值，第二问考查了二次不等式的解法，属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1 ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；
（2）由（1）知，，利用错位相减法即可得到数列的前项和.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，所以，解得.
所以.
由及等比中项的性质，得，
又显然必与同号，所以.
所以.又公比为正数，解得.
所以.
（2）由（1）知，，
则 ①.
②.
①-②，得
.
所以.
用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19、（1）（2）
【解析】
(1) 根据散点图判断，适宜；（2），两边同时取常用对数得： ，根据公式得到均值和系数即可得到公式，再代入x=8可得到估计值.
【详解】
（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；
（2），两边同时取常用对数得： ；
设
，
，
把样本中心点代入,得: ，
，，
关于的回归方程式：；
把代入上式，；
活动推出第天使用扫码支付的人次为；
本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
20、（1）48；（2）30；（3）
【解析】
（1）设样本容量为，列方程求解即可；
（2）根据比例列式求解即可；
（3）根据比例得成绩在90.5分以上的同学有6人，抽取2人参加决赛，列举出总的基本事件个数，然后列举出最高分甲被抽到的基本事件个数，根据概率公式可得结果.
【详解】
解：（1）设样本容量为，则，
解得，
所以样本的容量是48；
（2）样本中成绩在分的学生人数为：人；
（3）样本中成绩在90.5分以上的同学有人，
设这6 名同学分别为，其中就是甲，
从这6 名同学中随机地抽取2人参加决赛有：
共15个基本事件，
其中最高分甲被抽到的有共5个基本事件，
则最高分甲被抽到的概率为.
本题考查频率，频数，样本容量间的关系，考查古典概型的概率公式，重点是列举出总的基本事件和满足题目要求的基本事件，是基础题.
21、 (1) ;(2).
【解析】
试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用．（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出．
试题解析：（1）由题意可得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
整理得，
解得：．
故的长为．
（2）在中，由正弦定理得，
即
所以，
所以．
因为点在边上，所以，
而，
所以只能为钝角，
所以，
所以
．