上海市徐汇、松江、金山区2024-2025学年高一数学第二学期期末联考试题含解析.doc

上海市徐汇、松江、金山区2024-2025学年高一数学第二学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点有两个，求实数的取值范围（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．用3种不同颜色给2个矩形随机涂色，每个矩形涂且只涂种颜色,则2个矩形颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
A．0 B．1 C．2 D．4
5．设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]
6．采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，分组后某组抽到的号码为1．抽到的人中，编号落入区间 的人数为（ ）
A．10 B． C．12 D．13
7．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
8．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
9．数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象()
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若x、y满足约束条件，则的最大值为________.
12．设是等差数列的前项和，若，，则公差（___）．
13．已知，则____．
14．如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为___________.

15．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________.
16．已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 __________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀，并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据（单位：）和使用了电子节水阀20天的日用水量数据，并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48，使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图：

（1）试估计该家庭使用电子节水阀后，日用水量小于0.35的概率；
（2）估计该家庭使用电子节水阀后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）
18．(1)已知，且为第三象限角，求的值
(2)已知，计算 的值.
19．已知为数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20．已知直线l：x+3y﹣2＝1．
（1）求与l垂直，且过点（1，1）直线方程；
（2）求圆心为（4，1），且与直线l相切的圆的方程．
21．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x，其中x∈R，

（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；
（2）如图，在四边形ABCD中，AD＝3，BD，f（A）＝0，BC⊥BD，BC＝5，求△ABC的面积S△ABC．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.
2、B
【解析】
由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．
【详解】
由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：

故有或，
故选：B.
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .
3、C
【解析】
由古典概型及概率计算公式得2个矩形颜色不同的概率为，得解．
【详解】
用3种不同颜色给2个矩形随机涂色，每个矩形涂且只涂1种颜色，共种不同涂法，
则2个矩形颜色不同共种不同涂法，
即2个矩形颜色不同的概率为，
故选：．

本题考查了古典概型及概率计算公式，属于基础题．
4、D
【解析】
解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，

当且仅当x=y时取“=”，
5、D
【解析】
求出导函数，题意说明在上恒成立（不恒等于0），从而得，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解.
【详解】
二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以f(0)＝f（2），则当时，有．
实际上对二次函数，当时，函数在递减，在上递增，当时，函数在递增，在上递减.
6、C
【解析】
由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．
【详解】
∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，
又某组抽到的号码为1，可知第一组抽到的号码为11，
∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，
∴等差数列的通项公式为an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，
由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，
∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，
故选C．
本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．
7、C
【解析】
两圆外切时，有三条公切线．
【详解】
圆标准方程为，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴，．
故选C．
本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．
8、B
【解析】
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
9、B
【解析】
依据为周期函数， 得到 ，并项求和，即可求出的值。
【详解】
因为为周期函数，周期为4，所以，

，故选B。
本题主要考查数列求和方法——并项求和法的应用，以及三角函数的周期性，分论讨论思想，意在考查学生的推理论证和计算能力。
10、D
【解析】
由函数，根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，为了得到函数的图象，
只需将函数的图象向右平移个单位，故选D.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及正弦的倍角公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、18
【解析】
先作出不等式组所表示的平面区域，再观察图像即可得解.
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
由图可得：目标函数所在直线过点时，取最大值，
即，
故答案为： .

本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.
12、
【解析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.
【详解】
由题意可知，，即，
又，两式相减得，.
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
13、
【解析】
由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.
【详解】
，
，
，故答案为.
本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
14、
【解析】
根据题意可知，可得，依次计算，，不难发现：边长依次为，，，，构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，不难发现：边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．
【详解】
根据题意可知，可得，
依次计算，，是公比为的等比数列，
正方形的面积：依次，，
边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．
所有正方形的面积的和．
故答案为：
本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．
15、6
【解析】
利用代数余子式的定义直接求解.
【详解】
三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：
.
故答案为：6.
本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.
16、
【解析】
，所以，解得．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.48（2）（）
【解析】
（1）计算日用水量小于0.35时，频率分布直方图中长方形面积之和即可；
（2）根据频率分布直方图计算出使用电子节水阀后日均节水量的平均值，再求出年节水量即可.
【详解】
（1）根据直方图，该家庭使用电子节水阀后20天日用水量小于0.35的频率为
，
因此该家庭使用电子节水阀后日用水量小于0.35的概率的估计值为0.48.
（2）该家庭使用了电子节水阀后20天日用水量的平均数为.
估计使用电子节水阀后，一年可节省水（）.
本题考查对频率分布直方图的理解，以及由频率分布直方图计算平均数，属基础题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由，结合为第三象限角，即可得解；
（2）由，代入求解即可.
【详解】
（1）,∴,又∵是第三象限.
∴
（2）.
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.
19、 (1) (2)
【解析】
(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)根据错位相减法求结果.
【详解】
(1)因为，所以当时， ,相减得 ， ，当时， ，因此数列 为首项为，2为公比的等比数列，
(2),所以，
则2，
两式相减得
.
本题考查错位相减法求和以及由和项求通项，考查基本求解能力，属中档题.
20、 (1) 3x﹣y﹣2＝1；(2) （x﹣4）2+（y﹣1）2．
【解析】
（1）根据两直线垂直的性质，设出所求直线的方程，将点坐标代入，由此求得所求直线方程.
（2）利用圆心到直线的距离求得圆的半径，由此求得圆的方程.
【详解】
（1）根据题意，设要求直线的方程为3x﹣y﹣m＝1，
又由要求直线经过点（1，1），则有3﹣1﹣m＝1，解可得m＝2；
即要求直线的方程为3x﹣y﹣2＝1；
（2）根据题意，设要求圆的半径为r，
若直线l与圆相切，则有r＝d，
则要求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2．
本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.
21、 (1) 值域为[﹣3，1]，最小正周期为π； (2)．
【解析】
（1）化简f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2xsin2x﹣22sin（2x）﹣1，即可．
（2）求得AAB，cos，可得△ABC的面积S△ABC．
【详解】
（1）f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2xsin2x﹣22sin（2x）﹣1，
函数f（x）的值域为[﹣3，1]
最小正周期为π；
（2）∵f（A）＝0，即sin（2A），∴A．
在△ADB中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•ABcosA
⇒，解得AB
cos，则sin∠ABC＝cos．
△ABC的面积S△ABC．
本题考查了三角恒等变形、三角形面积计算，考查余弦定理，意在考查计算能力，属于中档题．