江苏省苏州市第五中学2024-2025学年数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

江苏省苏州市第五中学2024-2025学年数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
A．若与共面，则与共面
B．若与是异面直线，则与是异面直线
C．若==，则
D．若==，则=
2．如图，圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点（与A、B均不重合），则图中直角三角形的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数（　　）
A． B． C． D．
4．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．16
5．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于　(　　)
A．1 B．5 C．-1 D．-5
6．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）

A． B． C． D．
8．设，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．如图所示的阴影部分是由轴及曲线 围成，在矩形区域 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
10．在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．
12．已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 __________．
13．函数的值域为______.
14．已知数列，其前项和为，若，则在，，…，中，满足的的个数为______.
15．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里．
16．已知的圆心角所对的弧长等于，则该圆的半径为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某工厂提供了节能降耗技术改造后生产产品过程中的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对照数据．

（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为（吨）的生产能耗．相关公式：，．
18．已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.
19．已知函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明.
20．已知等比数列的前项和为，且成等差数列，
（1）求数列的公比；
（2）若，求数列的通项公式.
21．已知数列的前项和为，且满足．
（1）求的值；
（2）证明是等比数列，并求；
（3）若,数列的前项和为．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．
【详解】
对于选项A，若与共面，则与共面，正确；
对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确；
如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；
对于C,当四点共面时显然成立，
当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；

本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．
2、D
【解析】
利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．
【详解】
AB是圆O的直径，则AC⊥BC，
由于PA⊥平面ABC，
则PA⊥BC，
即有BC⊥平面PAC，
则有BC⊥PC，则△PBC是直角三角形；
由于PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，则△PAB和△PAC都是直角三角形；
再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，则△ACB是直角三角形.
综上可知：此三棱锥P−ABC的四个面都是直角三角形.
故选D.
本题考查直线与平面垂直的性质，考查垂直关系的推理与证明，属于基础题.
3、B
【解析】
根据坐标运算可求得与，从而得到与；利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：，
，
，解得：
本题正确选项：
本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题，关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长，进而利用向量夹角公式构造方程.
4、A
【解析】
直接利用扇形的面积公式求解.
【详解】
扇形的弧长，半径，
由扇形的面积公式可知，该扇形的面积.
故选A
本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5、D
【解析】
∵过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，
∴，
解得。选D。
6、D
【解析】

连结，∵，
∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱中，，，，
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
7、B
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输出的值，条件框内的语句决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到结果.
【详解】
程序在运行过程中各变量值变化如下：
第一次循环是
第二次循环是
第三次循环是
第四次循环是
第五次循环否
故退出循环的条件应为，故选B.
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8、B
【解析】
取，则，，只有B符合．故选B．
考点：基本不等式．
9、A
【解析】
，所以，故选A。
10、D
【解析】
由题意，再由余弦定理可求出，即可求出答案.
【详解】
由题意，
，设，
由余弦定理可得：，
则.
故选D.
本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
已知求，通常分进行求解即可。
【详解】
时，，化为：．
时，，解得．不满足上式．
∴数列在时成等比数列．
∴时，．
∴．
故答案为： ．
本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。
12、
【解析】
，所以，解得．
13、
【解析】
由反三角函数的性质得到，即可求得函数的值域.
【详解】
由，则，
，
又，
，即，
函数的值域为.
故答案：.
本题考查反三角函数的性质及其应用，属于基础题.
14、1
【解析】
运用周期公式，求得，运用诱导公式及三角恒等变换，化简可得，即可得到满足条件的的值．
【详解】
解：，
可得周期，

，
则满足的的个数为
．
故答案为：1．
本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．
15、
【解析】
画出示意图，利用正弦定理求解即可.
【详解】
如图所示：为灯塔，为轮船

，，则在中有：，且海里，则解得：海里.
本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.
16、
【解析】
先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解．
【详解】
解：圆心角，
弧长为，
，
即该圆的半径长．
故答案为：．
本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）可以预测产量为（吨）的生产能耗为（吨）
【解析】
（1）根据表格中的数据，求出，，，代入回归系数的公式可求得，再根据回归直线过样本中心点即可求解.
由（1）将代入即可求解.
【详解】
（1）由题意，根据表格中的数据，求得，，，，
代入回归系数的公式，求得，则，
故线性回归方程为．
（2）由（1）可知，当时，，
则可以预测产量为（吨）的生产能耗为（吨）．
本题考查了线性回归方程，需掌握回归直线过样本中心点这一特征，考查了学生的计算能力，属于基础题.
18、（1）；（2）证明见解析，；（3）或.
【解析】
（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】
(1)，可得，即；
时,,又，
相减可得,即，
则；
(2)证明：，
可得，
可得是首项和公差均为1的等差数列，
可得,即；
(3) ，
前n项和为，
，
相减可得
，
可得，
,即为，
即,对任意的成立，
由，
可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，
可得，即或.
“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
19、（1），（2）奇函数，证明见解析
【解析】
（1）将代入解析式，解方程即可.
【详解】
（1）由题知：，解得.
（2）.
，定义域为：.
，
.
所以，
所以为奇函数.
本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和公式，解方程可得；
（2）由等比数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式．
【详解】
解：（1）等比数列的前项和为，且，，成等差数列，
可得，显然不成立，即有，
则，
化为，解得；
（2），即，
可得，
数列的通项公式为．
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
21、（1）2，6，14；（2）（3）
【解析】
（1）通过代入，可求得前3项；（2）利用已知求的方法， 求解；（3）首先求得数列的通项公式，将通项分成两部分，一部分利用错位相减法求和，另一部分常数列求和.
【详解】
（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
（2）
当时，
两式相减，

，且
时首项为4，公比为2的等比数列.
（3）根据（2）可知， ，

设，设其前项和为，

两式相减可得
解得 ，
数列，前项和为，
数列的前项和是
本题考查了已知求的方法，利用错位相减法求和属于基础中档题型.