2025届辽宁省沈阳市回民中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025届辽宁省沈阳市回民中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．点到直线的距离是（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知定义在 上的偶函数 满足：当时，，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列的前n项和为，且，，成等差数列．若，则（ ）
A．15 B．7 C．8 D．16
4．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙两人的各科平均分不同 B．甲、乙两人的中位数相同
C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D．甲的众数是83，乙的众数为87
5．等比数列的前项和、前项和、前项和分别为，则( ).
A． B．
C． D．
6．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
7．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．若实数满足约束条件则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
9．已知之间的一组数据如下：

1
3
4
7
8
10
16

5
7
8
10
13
15
19
则线性回归方程所表示的直线必经过点
A．（8，10） B．（8，11） C．（7，10） D．（7，11）
10．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共线，则xy的最大值为_____．
12．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．

13．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.
14．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．
15．已知算式，在方框中填入两个正整数，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是___.
16．中,三边所对的角分别为,若,则角______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.
18．已知
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值.
19．已知函数，若，且，，求满足条件的，.
20．手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
组数
第l组
第2组
第3组
第4组
第5组
分组

频数
20
36
30
10
4

（1）求；
（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：
（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
21．已知数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，令，求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据点到直线的距离求解即可.
【详解】
点到直线的距离是.
故选：D
本题主要考查了点到线的距离公式,属于基础题.
2、C
【解析】
根据函数的奇偶性将等价变形为，再根据函数在上单调性判断函数值的大小关系，从而得出正确选项.
【详解】
解因为函数为偶函数，
故，
因为，
，
所以，
因为函数在上单调增，
故，
故选C.
本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化.
3、B
【解析】
通过，，成等差数列,计算出，再计算
【详解】
等比数列的前n项和为，且，，成等差数列
即

故答案选B
本题考查了等比数列通项公式，等差中项，前N项和，属于常考题型.
4、C
【解析】
分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项.
【详解】
甲的平均分为，乙的平均分，两人平均分相同，故A选项错误.
甲的中位数为，乙的中位数为，两人中位数不相同，故B选项错误.甲的众数是，乙的众数是，故D选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.）
故选：C
本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题.
5、B
【解析】
根据等比数列前项和的性质，可以得到等式，化简选出正确答案.
【详解】
因为这个数列是等比数列，所以成等比数列，因此有
，故本题选B.
本题考查了等比数列前项和的性质，考查了数学运算能力.
6、B
【解析】
要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。
【详解】
当时，左边，
当时，左边

，
∴从到，左边需要增乘的代数式为.选B.
本题主要考查学生如何理解数学归纳法中的递推关系。
7、B
【解析】
利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
8、A
【解析】
首先根据不等式组画出对应的可行域，再分别计算出顶点的坐标，带入目标函数求出相应的值，即可找到最大值和最小值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：

，.
，.
，，.
，，
.
故选：A
本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于简单题.
9、D
【解析】
先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案
【详解】
，
线性回归方程所表示的直线经必经过点，即（7，11）.
故答案选D
本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.
10、C
【解析】
由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．
【详解】
设直线的倾斜角为，
由，得：，
故中直线的斜率，
∵，
∴；
故选C．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．
【详解】
向量，，若向量，共线，
则，，即，
当且仅当，时，取等号．
故的最大值为，
故答案为：．
本题主要考查两个向量共线的性质，考查两个向量坐标形式的运算和基本不等式，属于基础题．
12、1
【解析】
由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．
【详解】
∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，
∴，60°，
∴

故答案为1．
本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．
13、
【解析】
本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；
【详解】
解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.
故答案为：
本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．
14、
【解析】
在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.
【详解】
因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD ,O在上，，所以,
在三角形中，由,，,，
由余弦定理
在直角三角形中
所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.
所以所求截面面积的范围是.
本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.
15、.
【解析】
设填入的数从左到右依次为，则，利用基本不等式可求得的最大值及此时的和.
【详解】
设在方框中填入的两个正整数从左到右依次为，则，于是，，当且仅当时取等号，此时.
故答案为：15
本题考查基本不等式成立的条件，属于基础题.
16、
【解析】
利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
【详解】
由得，由于，所以.
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16
（2）1
【解析】
（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.
【详解】
（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），
经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，
所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），
所以圆的半径.
所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.
（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.
圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.
则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.
本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用诱导公式进行化简即可，注意符号正负；
（Ⅱ）根据化简的的结果以及给出的条件，利用同角的三角函数的基本关系求解.
【详解】
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）∵，∴代入 得
∵是第三象限角，∴
（1）诱导公式的使用方法：奇变偶不变，符号看象限，这里的奇变和偶不变主要是看的倍数是奇数还是偶数，符号看象限是指将角看成锐角时，原来三角函数的正负就是化简后式子的正负；
（2）同角三角函数的基本关系：.
19、，
【解析】
利用三角恒等变换，化简的解析式，从而得出结论．
【详解】
解：

，
∴，
待定系数，可得，又，
∴，
∴，.
本题主要考查三角恒等变换，属于基础题．
20、 (1) ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)
【解析】
（1）直接计算.
（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.
（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.
【详解】
解：（1）由题意可知，
，
（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是
则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；
（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：
，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，
所以抽取的2人来自同一个组的概率.
本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.
21、（1）（2）
【解析】
试题分析：(1) 利用 得到相邻两项的关系，把问题转化为等比数列问题；(2) 利用裂项相消法求和.
试题解析：（1）由，得

得
∴是等比数列，且公比为
（2）由（1）及得
，