2025年广东省中山市纪念中学高一下数学期末达标检测试题含解析.doc

2025年广东省中山市纪念中学高一下数学期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（ ）
A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，2
4．l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A．6 B．1 C． D．3
5．在中，内角，，的对边分别为，，，且=．则
A． B． C． D．
6．甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
7．在中，分别为角的对边)，则的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
8．已知向量，，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格
9
9.5

10.5
11
销售量
11

8
6
5
由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10.5
10．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数，则______.（精确到）（参考数据）
12．在上，满足的的取值范围是______.
13．已知正数、满足，则的最大值为__________．
14．若存在实数使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.　
15．函数的定义域为____________.
16．已知不等式的解集为或，则实数__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．

组号

分组

回答正确
的人数

回答正确的人数
占本组的概率

第1组

5

0.5

第2组

0.9

第3组

27

第4组

0.36

第5组

3

(Ⅰ) 分别求出的值；
(Ⅱ) 从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
18．已知时不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.
(1)若sinB＝cosC，求tanC的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c.
20．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.
（参考数据：，，）
21．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.

(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?
(2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
，，，故选B.
2、D
【解析】
先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．
【详解】
由题意，函数的部分图象，
可得，即，所以，
再根据五点法作图，可得，求得，
故．
函数的图象向左平移个单位，可得
的图象，
则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，
故选：D．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3、C
【解析】
将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.
【详解】
将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.
故选：C.
本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.
4、D
【解析】
先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.
【详解】
当x=0时，y=2,
当y=0时，x=3,
所以三角形的面积为.
故选：D
本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5、C
【解析】
试题分析：由正弦定理得，，由于，
，，故答案为C.
考点：正弦定理的应用.
6、D
【解析】
可取，；，，，，，故选D.
7、A
【解析】
根据正弦定理得到，化简得到，得到，得到答案.
【详解】
，则，
即，即，
，故，.
故选：.
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8、A
【解析】
由题意得，即可得，再结合即可得解.
【详解】
由题意知，则.
，则，的夹角为.
故选：A.
本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.
9、A
【解析】
由表求得，，代入回归直线方程，联立方程组，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据，
可得，，
又由回归直线的方程，则，即，
又因为，解得，故选A.
本题主要考查了回归直线方程的特征及其应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到
，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：
，因为，所以，
因此直线的方程为，故本题选D.
本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，结合题意可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，
则有，
即，
解可得：，
故答案为：．
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于的方程，属于基础题．
12、
【解析】
由，结合三角函数线，即可求解，得到答案.
【详解】
如图所示，因为，
所以满足的的取值范围为.

本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数线的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13、
【解析】
直接利用均值不等式得到答案.
【详解】
，
当即时等号成立.
故答案为：
本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.
14、
【解析】
先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围.
【详解】
由于，故可化简得恒成立.
当时，显然成立.
当时，可得， ，可得且，可得，即，解得.
当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是.
本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
15、
【解析】
先将和分别解出来，然后求交集即可
【详解】
要使，则有且
由得
由得
因为
所以原函数的定义域为
故答案为：
解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像
16、6
【解析】
由题意可知，3为方程的两根，利用韦达定理即可求出a的值.
【详解】
由题意可知，3为方程的两根，则，即.
故答案为：6
本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ；(Ⅱ)第2组抽人；第3组抽3人；第4组抽1人；（III）.
【解析】
(Ⅰ)由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为,再结合频率分布直方图可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,
(Ⅱ)第2,3,4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为:第2组:人, 第3组:人, 第4组:人．
(Ⅲ)设第2组的2人为、,第3组的3人为、、,第4组的1人为,则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件,其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．
∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为
本题考查分层抽样方法、统计基础知识与等可能事件的概率．注意等可能事件中的基本事件数的准确性．
18、
【解析】
讨论的取值范围，分别计算，最后得到答案.
【详解】
解：（1）当时，恒成立，符合题意
（2）当时，不合题意舍去
（3）当时，
综上所述
本题考查了不等式恒成立问题，忽略二次系数为0的情况是容易发生的错误.
19、 (1);(2).
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件及余弦定理可求得的值,再由同角三角函数基本关系式可求得的值. 因为,所以,由两角和的正弦公式可将其化简变形,可求得与的关系式,从而可得.(2)根据余弦定理和三角形面积均可得的关系式.从而可解得的值.
试题解析：，
，
，.
(1)，，
，
，.
(2)，，， ①
，∴由余弦定理可得，
, ②
，∴联立①②可得.
考点：1正弦定理;2余弦定理;3两角和差公式.
20、（1），； （2）2022年
【解析】
（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可求解；
（2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解.
【详解】
解：（1）2018年投入为1000万元，第年投入为万元，所以，年内
的总投入为

.
2018年旅游业收入为500万元，第年旅游业收入为万元，所以，年
内的旅游业总收入为

.
（2）设至少经讨年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得，
即，
令，代入上式得，
解得或（舍去），
即，
不等式两边取常用对数，，
即.
∴
∴至少到2022年，旅游业的总收入才能超过总投入.
本题考查等比数列求和公式，转化法解指数不等式，考查数学建模思想方法，考查计算能力，属于中等题型.
21、 (1)12600；(2) .
【解析】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案；
（2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.
（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人，共有，，，，，，，，，10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185的概率.
本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.