内蒙古包头市第三十三中学2025届数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

内蒙古包头市第三十三中学2025届数学高一第二学期期末监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是非零向量，若，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．以点为圆心，且经过点的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
3．在中，若，则此三角形为（ ）三角形．
A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
5．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．将函数的图像左移个单位，则所得到的图象的解析式为
A． B．
C． D．
7．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
9．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ）
A． B． C． D．
10．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知的内角、、的对边分别为、、，若，，且的面积是，___________.
12．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．
13．的化简结果是_________.
14．已知，则的值为________．
15．若函数，的图像关于对称，则________．
16．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线的方程为，其中.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
18．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求证：
19．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
20．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是.

（1）求图中m的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数（四舍五入取整数）；
（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在的人数.
分数段
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
[110，120）
x：y
1:2
2:1
6:5
1:2
1:1

21．如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由得，这样可把且表示出来．
【详解】
∵，∴，，
∴，
∴，
故选D．
本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．
2、B
【解析】
通过圆心设圆的标准方程，代入点即可．
【详解】
设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．
故选B
此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．
3、B
【解析】
由条件结合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形状．
【详解】
由于在中，有，根据正弦定理可得；
所以此三角形为直角三角形；、
故答案选B
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4、B
【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.
5、D
【解析】
由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.
【详解】
直线恒过点
则，
本题正确选项：
本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.
6、C
【解析】
由三角函数的图象变换，将函数的图像左移个单位，得到，即可得到函数的解析式.
【详解】
由题意，将函数的图像左移个单位，
可得的图象，
所以得到的函数的解析式为，故选C.
本题主要考查了三角函数的图象变换，其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7、A
【解析】
因为，，且
，即，所以.故选A.
8、C
【解析】
设，根据系数对应关系即可求解
【详解】
设，即，
故选：C
本题考查向量共线的基本运算，属于基础题
9、D
【解析】
根据题意，得到该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，
因此.
故选：D
本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型.
10、B
【解析】
试题分析：由题意．
故选B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用同角三角函数计算出的值，利用三角形的面积公式和条件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.
【详解】
，，，且的面积是，
，，，，
由余弦定理得，.
故答案为．
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
12、
【解析】
根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】
由，得：且中点坐标为
和关于直线对称 且在上
的方程为：，即：
本题正确结果：
本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.
13、
【解析】
原式，因为，所以，且，所以原式．
14、
【解析】
由题意利用诱导公式求得的值，可得要求式子的值．
【详解】
，则，
故答案为：．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
15、
【解析】
特殊值法：由的对称轴是，所以即可算出
【详解】
由题意得是三角函数
所以
本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆三角函数的基本性质：单调性、对称轴、周期、定义域、最值、对称中心等。根据对称性取特殊值法解决本题是关键。属于中等题。
16、
【解析】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
【详解】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
点关于原点的对称点的坐标为
故答案为：
本题考查了空间直角坐标系关于原点对称，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析;（2）5;（3）见解析
【解析】
试题分析：
(1)分离系数m，求解方程组可得直线恒过定点；
(2)结合(1)的结论可得点到直线的距离的最大值是5；
(3)由题意得到面积函数： ，注意等号成立的条件.
试题解析：
（1）证明：直线方程
可化为
该方程对任意实数恒成立，所以
解得，所以直线恒过定点
（2）点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，即
（3）由于直线过定点，分别与轴，轴的负半轴交于两点，
设其方程为，则
所以
当且仅当时取等号，面积的最小值为4
此时直线的方程为
18、（1）．（2）证明见解析
【解析】
（1）由，
可得当时，，两式相减可求数列的通项公式；
（2）将带入，再计算，通过裂项相消计算，即可证明出。
【详解】
（1）解：∵，
∴（，），
两式相减得：，∴．
当时，，满足上式，
∴．
（2）证明：由（1）知，∴，
∴，
∴
．
本题考查利用公式求解数列的通项公式及裂项相消求数列的前n项和，属于基础题。
19、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.
试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜1，故当n≤2时，f（n）递减；
当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＞1，故当n≥2时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．
从而当x∈[1，2）时，f'（x）＜1，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞1，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利．
20、（1）（2）平均分为，中位数为（3）140人
【解析】
（1）由题得，解方程即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式估计这200名学生的平均分和中位数；（3）分别计算每一段的人数即得解.
【详解】
（1）由，解得.
（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为．
设中位数为,则解得
（3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，
所以英语成绩在的有140人．
本题主要考查频率分布直方图的性质，考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、
【解析】
连接，由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.
【详解】
设该扇形的半径为米，连接，如图所示：

由题意，得米，米，，
在△中，由余弦定理得，
即，
解得米.
答：该扇形的半径的长为米.
本题考查了利用余弦定理解三角形，将问题转化为在三角形中求解是解题关键，属于基础题.