2025届广东省百校联盟高一下数学期末统考模拟试题含解析.doc

2025届广东省百校联盟高一下数学期末统考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知之间的几组数据如下表：

1

2

3

4

5

6

0

2

1

3

3

4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线：与直线：平行，则的值为( )
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
4．（ ）
A．0 B． C． D．1
5．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是
A．或 B．
C．或 D．
7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
8．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．
12．_____
13．已知向量，，．若，则________．
14．设无穷等比数列的公比为，若，则__________________．
15．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________
16．不等式的解集是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数
（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
18．已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
19．平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点，．
（1）求圆M的方程;
（2）过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．
20．已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
21．已知．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
b′＝2，a′＝－2，由公式＝求得．
＝，＝－＝－×＝－，∴<b′，>a′
2、C
【解析】
两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案．
【详解】
显然，
，．所以，解得，又时两直线重合，所以．
故选C
此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题．
3、B
【解析】
利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.
【详解】
垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.
故选B.
本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.
4、C
【解析】
试题分析：
考点：两角和正弦公式
5、C
【解析】
直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．
【详解】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且b2+c2＝a2+bc．
则：，
由于：0＜A＜π，
故：A．
由于：sinBsinC＝sin2A，
利用正弦定理得：bc＝a2，
所以：b2+c2﹣2bc＝0，
故：b＝c，
所以：△ABC为等边三角形．
故选C．
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
6、A
【解析】
根据题意，原题等价于，再讨论即可得到结论．
【详解】
由题 ，故函数有一个零点
等价于即
当时，，,符合题意；
当，时，令，满足解得,
综上的取值范围是或
故选：A．
本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．
7、B
【解析】
试题分析：记函数，则函数∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
8、C
【解析】
利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.
【详解】
∵等差数列的公差为2，且，
∴
∴
∴.
故选：C
本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.
9、D
【解析】
由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．
【详解】
，如图，设是中点，则，，，∴．
故选D．

本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．
10、B
【解析】
根据最小正周期为求解与解析式,再求解的对称轴判断即可.
【详解】
因为最小正周期为,故.故,对称轴方程为,解得.当时, .
故选：B
本题主要考查了三角函数最小正周期的应用以及对称轴的计算.属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径
∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.
12、
【解析】
将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.
【详解】

本题正确结果：
本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.
13、
【解析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得

,即
故答案为
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
14、
【解析】
由可知,算出用表示的极限,再利用性质计算得出即可.
【详解】
显然公比不为1,所以公比为的等比数列求和公式,
且,故.此时当时,求和极限为,所以,故,
所以,故,又,故.
故答案为：.
本题主要考查等比数列求和公式,当时.
15、
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
由z＝i（2﹣i）＝1+2i，
得．
故答案为1﹣2i．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．
16、
【解析】
因为,且抛物线开口方向向上，
所以，
不等式的解集是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；
（2）要使对于恒成立，整理得只需恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，要使不等式恒成立，
①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；
②当时，只需，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）要使对于恒成立，
只需恒成立，
只需，
又因为，
只需，
令，则只需即可
因为，当且仅当，即时等式成立；
因为，所以，所以.
本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得
，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;
（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.
【详解】
解：（1）由知
所以，即，从而
所以，数列是以2为公比的等比数列
又可得，
综上所述，故.
（2）由（1）可知，故，
综上所述，所以，故而
所以.
本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.
19、 (1) ；(2) 最大值为1．
【解析】
（1）通过分析题意，可设圆心坐标为，再通过待定系数法即可求得。
（2）若采用直线方程和圆的方程联立求解相对较为复杂，可采用将题设条件转化为圆心到直线距离问题，结合勾股定理可大大简化运算，最后再结合均值不等式进行求解。
【详解】
解：（1）由题意，M在线段PQ的垂直平分线（即x轴）上，设；
由圆M与y轴相切，所以圆M的半径为，
圆M的标准方程为，
代入，解得，所以圆M的方程为.
（2）设圆心M到直线AC，BD的距离分别为m，n，则，
且，，
四边形ABCD的面积
因为，且m，n均为非负数，所以，
当且仅当，等号成立；
综上，四边形ABCD面积的最大值为1．
圆的弦长问题转化为点到直线的距离问题往往化繁为简
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式将已知两式展开，分别作和、作差可得，，再利用，即可求出结果；
（Ⅱ）由已知求得，再由，利用两角差的余弦公式展开求解，即可求出结果．
【详解】
解：（I） ①
②
由①+②得 ③
由①-②得 ④
由③÷④得
（II）∵，
，

本题主要考查了两角和差的正余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.
试题解析：（1）

（2）由（1）得

所以
考点：向量的坐标运算.