云南师范大学附属中学三2025年数学高一下期末教学质量检测试题含解析.doc

云南师范大学附属中学三2025年数学高一下期末教学质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．把十进制数化为二进制数为
A． B．
C． D．
3．中，分别是内角的对边，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若,且,,则（ ）
A． B． C． D．
5． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
6．若直线上存在点满足则实数的最大值为
A． B． C． D．
7．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）

A．1 B． C．4 D．6
8．已知数列，满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（ ）

A．棱台 B．圆台 C．圆柱 D．圆锥
10．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．化简：______.（要求将结果写成最简形式）
12．若在等比数列中，，则__________．
13．已知正实数满足，则的最小值为_______．
14．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．
15．方程组对应的增广矩阵为__________.
16．不等式的解集为_________________；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数．
（1）求的最小正周期．
（2）求在区间上的最小值．
18．已知， ，且与的夹角为.
（1）求在上的投影；
（2）求.
19．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.
(1)设，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

20．如图为函数的图象.

(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)若时，函数有零点，求实数m的取值范围.
21．如图，中，，角 的平分线长为1．

(1)求；
(2)求边的长．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小.
【详解】
由正弦定理得，则，
，则，所以，，由三角形的内角和定理得，
故选：C.
本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.
2、C
【解析】
选C.
3、D
【解析】
试题分析：由已知得，解得（舍）或，又因为，所以，由正弦定理得.
考点：1、倍角公式；2、正弦定理.
4、B
【解析】
利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．
【详解】
β＝α-(α﹣β)，
∵＜α，＜β，β＜，
∴α，
∵sin（）0，
∴＜0，则cos（），
∵sinα，
∴cosα，
则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），
故选B
本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题
5、D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
6、B
【解析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m的最大值.
【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示，
由，得：，
即C点坐标为（－1，－2），
平移直线x＝m，移到C点或C点的左边时，直线上存在点在平面区域内，
所以，m≤－1，
即实数的最大值为－1.

本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
7、B
【解析】
由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．
【详解】
由题意得x≥3，
则4个剩余分数的方差为：
s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．
故选B．
本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．
8、C
【解析】
利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.
【详解】
，且，，，
，所以，，
则数列是以为周期的周期数列，.
故选：C.
本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、B
【解析】
直接由三视图还原原几何体得答案．
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为圆台．
故选：．
本题考查三视图，关键是由三视图还原原几何体，属于基础题．
10、D
【解析】
由题意得到，再由两角差的余弦及同角三角函数的基本关系式化简求解.
【详解】
解：∵角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴，
，
故选：D.
本题考查了两角差的余弦公式的应用，是基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可
【详解】

故答案为：
本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题
12、
【解析】
根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．
【详解】
是等比数列，若，则．
因为，所以，
．
故答案为：1．
本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.
13、
【解析】
利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
【详解】
解：∵正实数满足，
∴（2a+b），当且仅当时取等号．
∴的最小值为
故答案为．
本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题．
14、；
【解析】
题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.
【详解】

如上图，建立直角坐标系，我们可以得出
直线，联立方程求出,
,即
填写
本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.
15、
【解析】
根据增广矩阵的概念求解即可.
【详解】
方程组对应的增广矩阵为,
故答案为：.
本题考查增广矩阵的概念，是基础题.
16、
【解析】
根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．
【详解】
时，原不等式可化为，，∴；
时，原不等式可化为，，∴．
综上原不等式的解为．
故答案为．
本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先利用倍角公式将降幂，再利用两角和的正弦公式将化简，使之化简成的形式，最后利用计算函数的最小正周期；（Ⅱ）将的取值范围代入，先求出的范围，再数形结合得到三角函数的最小值.
试题解析：（Ⅰ）∵，
∴的最小正周期为.
（Ⅱ）∵，∴.
当，即时，取得最小值.
∴在区间上的最小值为.
考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.
18、 (1)-2.
(2) .
【解析】
分析：(1)根据题中所给的条件，利用向量的数量积的定义式，求得，之后应用投影公式，在上的投影为，求得结果；
(2)应用向量模的平方等于向量的平方，之后应用公式求得结果.
详解：（1）在上的投影为
（2）因为， ，且与的夹角为
所以

所以
点睛：该题考查的是有关向量的投影以及向量模的计算问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，投影公式，向量模的平方和向量的平方是相等的，灵活运用公式求得结果.
19、（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
【解析】
试题分析：（1）利用锐角三角函数求出和的长度，然后以为底边、以为高，利用三角形面积公式求出三角形的面积；（2）设，以锐角为自变量将和的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形的面积的表达式，利用与之间的关系，令将三角形的面积的表达式表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形的面积的最大值，但是要注意自变量的取值范围作为新函数的定义域.
试题解析：（1）由题意知，
，
，
，即三角形铁皮的面积为；
（2）设，则，，
，
，
令，由于，所以，
则有，所以，
且，所以，
故，
而函数在区间上单调递增，
故当时，取最大值，即，
即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据三角函数的图像，得到周期，求出，再由函数零点，得到，结合题中条件，即可求出，从而可得函数解析式；
(Ⅱ)先由题意得到，再将函数有零点，化为方程有实根，从而可求出结果.
【详解】
(Ⅰ)由图象知，
∴，
∵，及得
而，，得
故
(Ⅱ)∵
∴，则
又函数有零点，故方程有实根
∵
∴
因此，实数m的取值范围是.
本题主要考查由三角函数的部分图像求解析式的问题，以及由函数的零点求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.
21、 (1) (2)
【解析】
（1）由题意知为锐角，利用二倍角余弦公式结合条件可计算出
的值；
（2）利用内角和定理以及诱导公式计算出，在中利用正弦定理可计算出.
【详解】
（1），则B为锐角，；
（2），
在中，由，得.
本题考查二倍角余弦公式、以及利用正弦定理解三角形，解三角形有关问题时，要根据已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．