2025年山东省枣庄市第三中学数学高一下期末监测试题含解析.doc

2025年山东省枣庄市第三中学数学高一下期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．以圆形摩天轮的轴心为原点，水平方向为轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标系.设摩天轮的半径为米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点，起始时点在的终边上，绕按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分），经过分钟后，到达，记点的横坐标为，则关于时间的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．如果直线a平行于平面，则（ ）
A．平面内有且只有一直线与a平行
B．平面内有无数条直线与a平行
C．平面内不存在与a平行的直线
D．平面内的任意直线与直线a都平行
5．矩形ABCD中，，，则实数（ ）
A．-16 B．-6 C．4 D．
6．已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则下列4个角中与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，复数，若的虚部为1，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
9．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则的最大值为（　　）
A．9 B．3 C．1 D．27
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，则________
12．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．
13．已有无穷等比数列的各项的和为1，则的取值范围为__________．
14．已知数列的前项和为，，则__________．
15．如图所示为函数的部分图像，其中、分别是函数图像的最高点和最低点，且，那么________．

16．已知向量，.若向量与垂直，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知锐角三个内角、、的对边分别是，且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积．
18．设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数m、n，有成立，数列满足，且.
（1）求的值；
（2）若不等式对一切都成立，求实数k的最大值.
19．已知圆，过点作直线交圆于、两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；
（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程．
20．已知，，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知.
（1）求的值；
（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
化圆心角为弧度值，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】
扇形的半径为，圆心角为，即，
该扇形的面积为，故选．
本题主要考查扇形的面积公式的应用．
2、D
【解析】
作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案.
【详解】
根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而
，故面积最大值为4，答案为D.

本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.
3、B
【解析】
根据题意，点的横坐标，由此通过特殊点的坐标，判断所给的图象是否满足条件，从而得出结论.
【详解】
根据题意可得，振幅，角速度，初相，
点的横坐标，
故当时，，当时，为的最大值，
故选：B.
本题考查三角函数图象的实际应用以及余弦型函数图象的特征，其中，求出函数模型的解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
4、B
【解析】
根据线面平行的性质解答本题．
【详解】
根据线面平行的性质定理，已知直线平面.
对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误；
对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确；
对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误；
对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误；
故选：B．
本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．
5、B
【解析】
根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数．
【详解】
据题意知，,
,
．
故选：．
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．
6、D
【解析】
由题意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限，
可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，
解得k，
则k的取值范围是[，+∞）．
故选：D．
本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．
7、C
【解析】
先写出与角终边相同的角的集合，再给k取值得解.
【详解】
由题得与角终边相同的集合为,
当k=6时，.
所以与角终边相同的角为.
故选C
本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8、B
【解析】
，所以，。故选B。
9、B
【解析】
由题意得出，由，得出，再利用累加法得出的值。
【详解】
，，
又，，
，，则，
于是得到，
上述所有等式全部相加得，
因此，，故选：B。
本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式
，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。
10、B
【解析】
由已知，可利用柯西不等式，构造柯西不等式，即可求解．
【详解】
由已知，可知，，
利用柯西不等式，
可构造得，
即，所以的最大值为3，故选B．
本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用反三角函数求解角的大小，即可得到答案.
【详解】
因为，，
根据反三角函数的性质，可得.
故答案为：.
本题主要考查了三角方程的解法，以及反三角函数的应用，属于基础题.
12、
【解析】
在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.
【详解】
因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD ,O在上，，所以,
在三角形中，由,，,，
由余弦定理
在直角三角形中
所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.
所以所求截面面积的范围是.
本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.
13、
【解析】
根据无穷等比数列的各项和表达式，将用公比表示，根据的范围求解的范围.
【详解】
因为且，又，且，则.
本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题.
14、
【解析】
分析：由，当时，当时，相减可得，则，由此可以求出数列的通项公式
详解：当时，
当时由可得
二式相减可得：

又
则数列是公比为的等比数列

点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式即数列递推式，在解答此类问题时看到，则用即可算出，需要注意讨论的情况。
15、
【解析】
由图可知：，因为，由周期公式得到，结合以及诱导公式即可求解.
【详解】
由图可知：，因为
所以 ，即
由题意可知：，即

故答案为：

本题主要考查了正弦型函数的图像的性质以及求值，关键是从图像得出周期，最值等，属于基础题.
16、7
【解析】
由与垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.
【详解】
，，
，又与垂直，
故，
解得，
解得.
故答案为：7.
本题考查通过向量数量积求参数的值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理把边化为对角的正弦求解；（2）根据余弦定理和已知求出，再根据面积公式求解.
【详解】
解：（1）由正弦定理得
∵，
∴，
又∵
∴
（2）由余弦定理
得所以
即
∴
∴的面积为
本题考查解三角形.常用方法有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式；注意增根的排除.
18、（1） （2）
【解析】
（1）首先令，得：，根据得到，
即是以，的等差数列，再计算即可.
（2）将题意转化为，设，判断其单调性，求出最小值即可得到答案.
【详解】
令，得：，.
所以.
因为，所以.
所以，.
所以是以，的等差数列.
所以，.
（2）因为恒成立.
即恒成立.
设，
知，且，
，即，
故为关于的增函数，.
所以，的最大值为.
本题主要考查数列与函数的综合，利用函数的单调性是解题的关键，属于难题.
19、（1）；（2） ；（3）.
【解析】
（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长；（3）利用垂径公式，明确是的中点，进而得到以线段为直径的圆的方程．
【详解】
（）圆的方程可化为，圆心为，半径为．
当直线过圆心，时，，
∴直线的方程为，即．
（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即．
圆心到直线的距离，
∴弦．
（）由于，而弦心距，
∴，∴是的中点．
故以线段为直径的圆圆心是，半径为．
故以线段为直径的圆的方程为．
20、（1） （2）
【解析】
（1）根据题意，由，求解，注意角的范围，可求得值，再根据运用两角和正切公式，即可求解；
（2）由题意，配凑组合角，运用两角差余弦公式，即可求解.
【详解】
（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，
，
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴

.
本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）；（2）
【解析】
(1)先根据诱导公式将原式子化简，再将已知条件中的表达式平方，可得到结果；（2）原式子可化简为，由已知条件可得到，再由第一问中得到，结合第一问中的条件可得到结果.
【详解】
（1）=
已知,将式子两边平方可得到
（2）为第二象限角，且角终边在上，则根据三角函数的定义得到
原式化简等于

由第一问得到
将已知条件均代入可得到原式等于.
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.
(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.