四川省三台县芦溪中学2025届高一下数学期末学业质量监测试题含解析.doc

四川省三台县芦溪中学2025届高一下数学期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数f（x）=loga（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
2．在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若 则( )
A． B． C． D．
4．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）

A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．4月份人均用电量不低于20度的有500人
C．4月份人均用电量为25度
D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为
5．若且，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
6．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称中心是
B．在定义域内是增函数
C．是奇函数
D．图像的对称轴是
8．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则
A． B．
C． D．
9．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若,，，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．
12．已知，则与的夹角等于___________.
13．已知函数，，则的最大值是__________．
14．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、，，则的值是__________.

15．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

16．在数列中，是其前项和，若，，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和．
18．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数
（1）求的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？
19．在等差数列中，，且前7项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
20．已知，，与的夹角是
（1）计算：①，②；
（2）当为何值时，与垂直？
21．已知点，圆．
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
函数为函数与的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论，，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得的范围.
【详解】
∵函数在区间上为单调递减函数，
∴时，在上为单调递减函数，
且在上恒成立，
∴需在上的最小值，
且对称轴，∴，
当时，在上为单调递增函数，不成立，
综上可得的范围是，
故选：A．
本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.
2、D
【解析】
由题意，再由余弦定理可求出，即可求出答案.
【详解】
由题意，
，设，
由余弦定理可得：，
则.
故选D.
本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.
3、D
【解析】
利用二倍角余弦公式并代值计算可得出答案．
【详解】
由二倍角余弦公式可得，故选D．
本题考查二倍角余弦公式的应用，着重考查学生对二倍角公式熟记和掌握情况，属于基础题．
4、C
【解析】
根据频率分布直方图逐一计算分析.
【详解】
A：用电量最多的一组有：人，故正确；
B：不低于度的有：人，故正确；
C：人均用电量：，故错误；
D：用电量在的有：人，所以，故正确；
故选C.
本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值后结果相加.
5、D
【解析】
利用不等式的性质对四个选项逐一判断.
【详解】
选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；
选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；
选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.
本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.
6、B
【解析】
由，可得，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.
【详解】
设等比数列的公比为，则，可得，解得或，
此时数列不一定是递增数列；
若数列为递增数列，可得或，
所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、A
【解析】
根据正切函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
．，
由得，，
的对称中心为，，故正确；
．在定义域内不是增函数，故错误；
．为非奇非偶函数，故错误；
．的图象不是轴对称图形，故错误．
故选．
本题考查了正切函数的图象与性质，考查了整体思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
8、B
【解析】
∵等差数列，，，成等比数列，∴，
∴，∴，，故选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念
9、B
【解析】
利用重心以及向量的三点共线的结论得到的关系式，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
设重心为，因为重心分中线的比为，则有，，则，又因为三点共线，所以，则，取等号时.
故选B.
（1）三角形的重心是三条中线的交点，且重心分中线的比例为；
（2）运用基本不等式时，注意取等号时条件是否成立.
10、B
【解析】
由题意，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，得到，，以及直线的方程，设出点E坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.
【详解】
如图，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以，，，，
则直线的方程为，整理得，
因为E为线段AC上一动点，设，，
则，，
所以，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，最大值为.
即的取值范围为.
故选B

本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、16
【解析】
利用及可计算，从而可计算的值.
【详解】
因为，故，
因为，故，故，
故填16.
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
12、
【解析】
利用再结合已知条件即可求解
【详解】
由，即，
故答案为：
本题考查向量的夹角计算公式，在考题中应用广泛，属于中档题
13、3
【解析】
函数在上为减函数，故最大值为.
14、
【解析】
设，则，由题意得：，由此能求出的值．
【详解】
设，则，
由题意得：，解得，
．
故答案为：．
本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15、
【解析】
根据函数图象以及不等式的等价关系即可．
【详解】
解：不等式等价为或，
则，或，
故不等式的解集是．
故答案为：．
本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．
16、
【解析】
令，可求出的值，令，由可求出的表达式，再检验是否符合时的表达式，由此可得出数列的通项公式.
【详解】
当时，；
当时，.
不适合上式，因此，.
故答案为：.
本题考查利用求数列的通项公式，一般利用，求解时还应对是否满足的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析 (2)
【解析】
（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【详解】
解：（1）设a1＝a，由题意可得，
解得，或，
当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
当时，an（2n+79），bn＝9•；
（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，
∴cn，
∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，
∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，
∴Tn＝2（2n﹣1）•3，
∴Tn＝6．
本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
18、 (1) ； (2) 当产量吨，平均生产成本最低.
【解析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．
【详解】
（1）设，
由函数是上的连续函数.
即，代入得
（2）设平均生产成本为，
则
当中，，函数连续且在单调递减，单调递增
即当，元
当，，由，当且仅当取等号，即当，元
综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.
本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.
19、（1）；（2）Sn＝•3n+1+
【解析】
（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；
（2）求得bn＝2n•3n，由数列的错位相减法求和即可．
【详解】
（1）等差数列{an}的公差设为d，a3＝6，且前7项和T7＝1．
可得a1+2d＝6，7a1+21d＝1，解得a1＝2，d＝2，则an＝2n；
（2）bn＝an•3n＝2n•3n，
前n项和Sn＝2（1•3+2•32+3•33+…+n•3n），
3Sn＝2（1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1），
相减可得﹣2Sn＝2（3+32+33+…+3n﹣n•3n+1）＝2•（﹣n•3n+1），
化简可得Sn＝•3n+1+．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．
20、（1）①；②；（2）.
【解析】
利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.
【详解】
由已知得：
（1）①
②
（2）若与垂直，则

即：，解得：
本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.
21、（1）或．（2）
【解析】
(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.
(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为．
由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,
即．由题意知,
解得,∴方程为．
故过点M的圆的切线方程为或．
（2）∵圆心到直线的距离为,
∴,解得．
本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.