2025届北京市丰台区第12中学高一下数学期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025届北京市丰台区第12中学高一下数学期末达标检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（ ）倍．
A． B． C． D．
2．若，且，则( )
A． B． C． D．
3．过点作圆的切线,且直线与平行，则与间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，，则的值（）
A． B． C． D．
5．己知向量，，，则“”是“”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）.
A． B． C． D．
7．若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（　　）
A．2 B．14 C．2 D．8
8．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，若，，，则其外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
9．设集合，集合为函数的定义域，则（）
A． B． C． D．
10．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．方程在区间上的解为___________．
12．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________
13．已知数列满足则的最小值为__________.
14．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．
15．如图，四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________.

16．等比数列中前n项和为，且，，，则项数n为____________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点，圆．
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值．
18．已知,,函数.
（1）求的最小正周期;
（2）求的单调增区间.
19．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是（，）．
（1）当，时，求曲线围成的区域的面积；
（2）若直线：与曲线交于轴上方的两点，，且，求点到直线距离的最小值．
20．已知函数.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互不相同的整数，使得.
21．数列，各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
设最小球的半径为，根据比例关系即可得到另外两个球的半径，再利用球的体积公式表示出三个球的体积，即可得到结论。
【详解】
设最小球的半径为，由三个球的半径的比是1：2：3，可得另外两个球的半径分别为，；
最小球的体积，中球的体积，最大球的体积；
，即最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍；
故答案选D
本题主要考查球体积的计算公式，属于基础题。
2、A
【解析】
利用二倍角的正弦公式和与余弦公式化简可得.
【详解】
∵，
∴，
∵，所以，
∴，
∴.
故选：A
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
3、D
【解析】
由题意知点在圆C上，圆心坐标为，
所以，
故切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
因为直线l与直线平行，
所以，解得，
所以直线的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.
所以直线与直线l间的距离为．选D．
4、B
【解析】
根据等差数列的性质，求得，再由，即可求解.
【详解】
根据等差数列的性质，可得，即，
则，故选B.
本题主要考查了等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、A
【解析】
先由题意，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
若，则，所以；
若，则，所以；
综上，“”是“”的充要条件.
故选：A
本题主要考查向量共线的坐标表示，以及命题的充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
6、B
【解析】
根据所给数据，分别求出平均数为a，中位数为b，众数为c，然后进行比较可得选项.
【详解】
，
中位数为，
众数为.
故选：B.
本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
7、A
【解析】
由已知可得||，根据数量积公式求解即可．
【详解】
||．
故选A．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．
8、A
【解析】
根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．
【详解】
∵，，∠ABC=90∘，
∴将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体,
其体对角线为其外接球的直径,
长度为，
∴其外接球的半径为,表面积为=17π.
故选：A.
本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题.
9、B
【解析】
解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出.
【详解】
因为，所以.
又因为函数的定义域为，所以.
因此，故本题选B.
本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.
10、A
【解析】
由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第3天织布的尺数．
【详解】
由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，
设首项为，前n项和为，
则由题意得，
∴，
∴，
即该女子第3天所织布的尺数为．
故选A．
本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：
化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
12、 (-∞,1)
【解析】
由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．
【详解】
两个正实数x，y满足2，
则x+2y（x+2y）（）（1）
（1+2）＝1，
当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，
x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，
由题意可得m＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．
13、
【解析】
先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】
解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+1．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
14、
【解析】
先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.
【详解】
由题得,
所以.
由余弦定理得，
当且仅当时取等.
所以b的最小值是.
故答案为：
本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15、.
【解析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．
【详解】
解：四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，
，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，， ，
∴， ，
设直线与直线所成角为，
则，
直线与直线所成角的余弦值为．
故答案为：．
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
16、6
【解析】
利用等比数列求和公式求得，再利用通项公式求解n即可
【详解】
，代入，，得，又，得．
故答案为：6
本题考查等比数列的通项公式及求和公式的基本量计算，熟记公式准确计算是关键，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或．（2）
【解析】
(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.
(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为．
由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,
即．由题意知,
解得,∴方程为．
故过点M的圆的切线方程为或．
（2）∵圆心到直线的距离为,
∴,解得．
本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）直接利用向量的数量积的应用和三角函数关系式的恒等变变换,求出三角函数的关系式,进一步求出函数的最小正周期,即可求得答案.
（2）利用（1）的函数关系式和整体思想求出函数的单调区间,即可求得答案.
【详解】
（1）,，
函数
．
（2）由（1）得:
令:
解得:
函数的单调递增区间为:
本题考查了向量数量积和三角函数求周期,及其求正弦函数单调区间,解题关键是掌握正弦函数周期求法和整体法求正弦函数单调区间的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
19、 (1)4；(2) ．
【解析】
（1）当，时，曲线的方程是，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4；
（2）对进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点的坐标，由得到的关系，再利用点到直线的距离公式求出，从而求得.
【详解】
（1）当，时，曲线的方程是，
当时，，当时，，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
曲线围成的区域为菱形，其面积为；
（2）当，时，有，
联立直线可得，
当，时，有，
联立直线可得，
由可得，
即有，
化为，
点到直线距离
，
由题意可得，，，即，
可得，，
可得当，即时，点到直线距离取得最小值．
解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的.
20、（1）单调递增区间为；（2）见解析.
【解析】
（1）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为，然后求出函数在上的单调递增区间，与定义域取交集可得出答案；
（2）利用三角函数图象变换得出，解出不等式的解集，可得知对中的任意一个，每个区间内至少有一个整数使得，从而得出结论.
【详解】
（1）.
令，解得，
所以，函数在上的单调递增区间为，
，因此，函数在上的单调递增区间为；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
由，
对于中的任意一个，区间长度始终为，大于，
每个区间至少含有一个整数，
因此，存在无穷多个互不相同的整数，使得.
本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，以及三角不等式整数解的个数问题，考查运算求解能力，属于中等题.
21、（1）证明见解析，；（2）3
【解析】
（1）由题得，即得数列为首项和公差都是的等差数列，再求出，再利用项和公式求数列的通项公式.(2)先求出，再利用裂项相消求出，最后解二次不等式得解.
【详解】
（1）证明：，当时，，
整理得，，
又，
数列为首项和公差都是的等差数列.
，
又，
时，，又适合此式
数列的通项公式为；
（2）解：

依题意有，解得，
故所求最大正整数的值为.
本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.