2024-2025学年湖北省十堰市张湾区东风高中数学高一第二学期期末经典试题含解析.doc

2024-2025学年湖北省十堰市张湾区东风高中数学高一第二学期期末经典试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．数列1，，，，…的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法中，
①若，则；②若，则；③若，则.
正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．变量满足，目标函数，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．-1
4．在棱长为2的正方体中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
7．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知等差数列的前项的和为，若，则等于（ ）
A．81 B．90 C．99 D．180
9．已知是第三象限的角，若，则
A． B． C． D．
10．已知等差数列的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列是递增数列；
②数列是递增数列；
③数列是递增数列；
④数列是递增数列；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，，点为延长线上一点，，连接，则=______.
12．已知，则的最小值是_______.
13．在公差为的等差数列中，有性质：，根据上述性质，相应地在公比为等比数列中，有性质：____________.
14．某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为______海里.
15．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为______________.
16．已知点P是矩形ABCD边上的一动点，，，则的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．在中，三个内角所对的边分别为，满足.
（1） 求角的大小；
（2） 若，求，的值.（其中）
19．为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示（单位：mm）

A、B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；

平均数
方差
A
20
0.016
B
20
s2B
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（Ⅰ）计算s2B，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（Ⅱ）考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．
20．已知，设.
（1）若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围；
（2）若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式，并说明如何由的图象变换得到的图象.
21．已知函数，.
（1）求解不等式；
（2）若，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
把数列化为，根据各项特点写出它的一个通项公式.
【详解】
数列…可以化为，所以该数列的一个通项公式为.
故选：A
本题考查了根据数列各项特点写出它的一个通项公式的应用问题，是基础题目.
2、D
【解析】
由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．
【详解】
平面平面．直线平面，直线平面，，
①若，可得，可能平行，故①错误；
②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；
③若，可得，故③正确．
故选：D．
本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．
3、D
【解析】
先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，
平移直线，显然直线过点时，最小，
由，解得：
∴最小值，
故选：D．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
4、C
【解析】
先判断是正四面体，可得正四面体的棱长为，则的最大值为的长，的最小值是到平面的距离，结合不在三角形的边上，计算可得结果.
【详解】

由正方体的性质可知，
是正四面体，
且正四面体的棱长为，
在内，
的最大值为，
的最小值是到平面的距离，
设在平面的射影为,
则为正三角形的中心，，
，
的最小值为，
又因为不在三角形的边上，
所以的范围是，故选C.
本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
5、A
【解析】
先求出所有的单调递增区间，然后与取交集即可.
【详解】
因为
令
得：
所以的单调递增区间是
因为，所以
即函数的单调递增区间是
故选：A
求形如的单调区间时，一般利用复合函数的单调性原理“同增异减”来求出此函数的单调区间，当时，需要用诱导公式将函数转化为.
6、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
7、A
【解析】
直线2x–3y +1=0的斜率为
则直线l的斜率为
所以直线l的方程为
故选A
8、B
【解析】
根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.
【详解】
依题意，所以，故选B.
本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
9、D
【解析】
根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，
因为，所以解得：，故选D.
本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.
10、B
【解析】
对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
【详解】
设等差数列，d＞0
∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题．
对于②，数列，得，
，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题．
对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题．
对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题．
故选：B．
本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
由题意,画出几何图形.由三线合一可求得,根据补角关系可求得.再结合余弦定理即可求得.
【详解】
在中,,
作,如下图所示:

由三线合一可知为中点
则
所以
点为延长线上一点,
则在中由余弦定理可得

所以
故答案为:
本题考查了等腰三角形性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
12、3
【解析】
根据，将所求等式化为，由基本不等式，当a=b时取到最小，可得最小值。
【详解】
因为，所以，
所以（当且仅当时，等号成立）.
本题考查基本不等式，解题关键是构造不等式，并且要注意取最小值时等号能否成立。
13、
【解析】
根据题中条件，类比等差数列的性质，可直接得出结果.
【详解】
因为在公差为的等差数列中，有性质：，
类比等差数列的性质，可得：
在公比为等比数列中，
故答案为：
本题主要考查类比推理，只需根据题中条件，结合等差数列与等比数列的特征，即可得出结果，属于常考题型.
14、
【解析】
由题意利用方位角的定义画出示意图，再利用三角形，解出的长度．
【详解】
解：由题意画出图形为：
因为，，所以，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以（海里）．
在中，利用正弦定理得：，所以；
故答案为：．

此题考查了学生对于题意的正确理解，还考查了利用正弦定理求解三角形及学生的计算能力，属于基础题．
15、1
【解析】
由等差数列的性质可得a7+a9+a11＝3a9，而S17＝17a9，故本题可解．
【详解】
∵a1+a17＝2a9，
∴S1717a9＝170，
∴a9＝10，
∴a7+a9+a11＝3a9＝1；
故答案为：1．
本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，属于基础题．
16、
【解析】
如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.
，根据几何意义得到最值，
【详解】
如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.
则.
表示的几何意义为到点的距离的平方减去.
根据图像知：当为或的中点时，有最小值为；
当与中的一点时有最大值为.
故答案为：.

本题考查了向量的数量积的范围，转化为几何意义是解题关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
(1)由，且，
可得
当 也适合，
；
(2)∵

18、（1）；（2）4，6
【解析】
（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出的度数；（2）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作①，把的度数代入求出的值,记作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值,由②③可知与为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据大于，可得出，的值.
【详解】
（1）已知等式，
利用正弦定理化简得，
整理得，
即，
，
则.
（2）由，得， ①
又由（1） ，②
由余弦定理得，
将及①代入得，
，
，③
由②③可知与为一个一元二次方程的两个根，
解此方程，并由大于，可得.
以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
19、（Ⅰ）0.008，B的成绩好些（Ⅱ）派A去参赛较合适
【解析】
（Ⅰ）利用方差的公式，求得S2A＞S2B，从而在平均数相同的情况下，B的波动较小，由此得到B的成绩好一些；
（Ⅱ）从图中折线趋势可知尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，从而派A去参赛较合适.
【详解】
（Ⅰ）由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得
S2B
∴S2A＞S2B，∴在平均数相同的情况下，B的波动较小，
∴B的成绩好些．
（Ⅱ）从图中折线趋势可知：
尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，
∴派A去参赛较合适．
本题主要考查了方差的求法及其应用，同时考查了折线图、方差的性质等基础知识.
20、（1）；（2）;平移变换过程见解析.
【解析】
（1）根据平面向量的坐标运算,表示出的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于及周期公式,即可求得的取值范围;
（2）根据最小正周期,求得的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与的最大值是,即可求得的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.
【详解】
∵
∴
∴

（1）由题意可知,
∴
又,
∴
（2）∵,
∴
∴
∵,
∴
∴当即时

∴
∴
将图象上所有点向右平移个单位,得到的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象（或将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象；再将得到的图象上所有点向右平移个单位,得到的图象）
本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.
21、（1）或（2）
【解析】
（1）对x分类讨论解不等式得解；（2）由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.
【详解】
解：（1）当时，，解得.
当时，，解得.
所以不等式解集为或.
（2），
当且仅当，即时取等号.
本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.