2025届河南省名校大联考数学高一下期末经典试题含解析.doc

2025届河南省名校大联考数学高一下期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（）上有最大值而无最小值，且满足f（）+f（）＝0，则实数φ的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
2．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是

A．－1 B．
C． D．
3．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ）
A．7E3 B．7F3 C．8E3 D．8F3
4．平面内任一向量都可以表示成的形式，下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量的方向相同 B．向量中至少有一个是零向量
C．向量的方向相反 D．当且仅当时，
5．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．已知的顶点坐标为，，，则边上的中线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　)
A． B． C．3 D．
8．若实数满足,则的大小关系是：
A． B． C． D．
9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生
B．至多有1名男生和都是女生
C．至少有1名男生和都是女生
D．恰有1名男生和恰有2名男生
10．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，则S8＝（　 　）
A．36 B．42 C．48 D．60
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．
12．已知中内角的对边分别是，，，，则为_____．
13．四名学生按任意次序站成一排，则和都在边上的概率是___________.
14．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.
15．不等式的解集为_________.
16．化简：________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知圆： ，点.

（1）求经过点且与圆相切的直线的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围.
18．在中，角的对边分别为，，.
（1）若有两解，求的取值范围；
（2）若的面积为，，求的值.
19．在中,角所对的边分别为,且.
(1)求;
(2)若,求的周长.
20．（1）证明：；
（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；
（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？
21．设为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，且数列的前项和为，求证：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据题意可画图分析确定的周期,再列出在区间端点满足的关系式求解即可.
【详解】
由题该函数在区间（）上有最大值而无最小值可画出简图,又,故周期满足.故.故.
又,故 .

故选：D
本题主要考查了正弦型函数图像的综合运用,需要根据题意列出端点处的函数对应的表达式求解.属于中等题型.
2、D
【解析】
由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.
【详解】
由已知的程序框图可知:
本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，
可得，
因为，
所以，，
故选D.
本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
3、A
【解析】
通过竖式除法，用2019除以16，取其余数，再用商除以16，取其余数，直至商为零，将余数逆着写出来即可.
【详解】
用2019除以16，得余数为3，商为126；
用126除以16，得余数为14，商为7；
用7除以16，得余数为7，商为0；
将余数3,14,7逆着写，即可得7E3.
故选：A.
本题考查进制的转化，只需按照流程执行即可.
4、D
【解析】
根据平面向量的基本定理，若平面内任一向量都可以表示成的形式，构成一个基底，所以向量不共线．
【详解】
因为任一向量，
根据平面向理的基本定理得，
所以向量不共线，故A，C不正确.
是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确.
因为不共线，且不能为零向量，所以若，当且仅当，故D正确.
故选：D
本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5、D
【解析】
由正弦定理化简，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．
【详解】
由题意知，，
结合正弦定理，化简可得，
所以，则，
所以，得或，
所以三角形是等腰或直角三角形．
故选D．
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
6、D
【解析】
利用中点坐标公式求得，再利用两点间距离公式求得结果.
【详解】
由，可得中点
又
本题正确选项：
本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标.
7、A
【解析】
根据正弦和角公式化简得 是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成 的三角函数，利用三角函数求得最值.
【详解】
由已知得：
即
所以 即
又因为
所以 所以
又因为 所以 是等边三角形.
所以
在中，由余弦定理得
且
因为平面四边形OACB面积为

当 时，有最大值 ，
此时平面四边形OACB面积有最大值 ，
故选A.
本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.
8、D
【解析】
分析：先解不等式,再根据不等式性质确定的大小关系.
详解：因为,所以 ,
所以
选D.
点睛：本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质，考查基本求解能力与运用性质解决问题能力.
9、D
【解析】
试题分析：A中两事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中两事件既是互斥事件又是对立事件；D中两事件是互斥但不对立事件
考点：互斥事件与对立事件
10、C
【解析】
设出等差数列的公差d，根据a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S8即可
【详解】
设公差为d（d≠0），则有，
化简得：，
因为d≠0，解得a1＝-1，d＝2，
则S8＝-82＝1．
故选：C．
【点评】
此题考查运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，意在考查公式运用，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.
【详解】
三棱锥，平面，，，
画出图像：

易知：每个面都是直角三角形.

本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.
12、
【解析】
根据正弦定理即可．
【详解】
因为，，；所以，由正弦定理可得
本题主要考查了正弦定理：,属于基础题．
13、
【解析】
写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出和都在边上的情况即可求得概率.
【详解】
四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为：
，
，
，
，共24种情况，
其中和都在边上共有，4种情况，
所以和都在边上的概率是.
故答案为：
此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
14、
【解析】
先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.
【详解】
依题意.所以方差为.
故答案为：.
本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．
【详解】
同解于
解得或
故答案为：
本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．
16、
【解析】
根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得.
故答案为：.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值
试题解析：（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．
当切线的斜率存在时，设： ，即，
圆心到切线的距离等于半径3，
，解得．
切线方程为，即
故所求直线的方程为或．
（2）由题意可得， 点的轨迹是以为直径的圆，记为圆．
则圆的方程为．
从而，
所以线段长度的最大值为，最小值为，
所以线段长度的取值范围为．
18、（1）； （2）.
【解析】
（1）由，利用正弦定理可得，结合诱导公式以及两角和的正弦公式可得，从而可得，由可得结果；（2）由（1）知，，可得，再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴.
即
∵，∴，∴.
若有两解，∴，
解得，即的取值范围为.
（2）由（1）知，，∴，
∵ ，
∴，
∵，∴.
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
19、（1）；（2）
【解析】
分析：（1）利用正弦定理，求得，即可求出A，根据已知条件算出，再由大边对大角，即可求出C；
（2）易得，根据两角和正弦公式求出，再由正弦定理求出和，即可得到答案.
详解：解：(1)由正弦定理得,又,所以，
从而,因为,所以.
又因为，，
所以.
(2)由(1)得
由正弦定理得，可得,.
所以的周长为.
点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：
（1）已知两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）已知两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3）证明化简过程中边角互化；
（4）求三角形外接圆半径.
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）不是
【解析】
（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.
【详解】
（1）

所以原式得证.
（2）为奇数时，
时，，其中，成立
时，
，其中，成立
时，
，其中，成立，
则当时，

所以得到

因为均为整数，所以也均为整数，
故原式成立；
为偶数时，
时，，其中，
时，
，
其中，成立，
时，
，
其中，成立，
则当时，

所以得到

其中，
因为均为整数，所以也均为整数，
故原式成立；
综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，；
（3）由（2）可得

其中均为有理数，
因为为无理数，所以均为无理数，
故为无理数，
所以不是有理数.
本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.
21、（1），（2）见解析
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式得到结果；（2）根据第一问得到，由裂项求和得到结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由题意得，
，解得，，
则，.
（2）由得
∴

.
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。