山东省聊城市茌平县第二中学2024-2025学年数学高一下期末考试试题含解析.doc

山东省聊城市茌平县第二中学2024-2025学年数学高一下期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）

A． B． C． D．4
2．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．化简（ ）
A． B． C． D．
4．中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
5．已知如图正方体中，为棱上异于其中点的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
6．设不等式组所表示的平面区域为，在内任取一点，的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这只小动物中随机取出只检测，则恰有只注射过该新药的概率为( )
A． B． C． D．
9．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B．
C． D．
10．若，且，则“”是“函数有零点”的（   ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设数列的前n项和为，关于数列，有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列：
（3）若，则是等比数列
这些命题中，真命题的序号是__________________________.
12．如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线剪开，拼成如图所示的平行四边形，且中间的四边形为正方形.在平行四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________

13．已知正实数满足，则的值为_____________.
14．正方形和内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设，若两正方形面积分别为=441，=440，则=______

15．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 ．
16．已知数列的通项公式,则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省岁的人群中抽取了人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家级旅游景区？”，统计结果如下表所示：
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第组

第组

第组

第组

第组

（1）分别求出的值；
（2）从第组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，求第组每组抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的人中随机抽取人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在的概率
18．如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.

（1）设平面平面，求证：；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的余弦值.
19．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．

（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的大小．
20．已知以点（a∈R，且a≠0）为圆心的圆过坐标原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求△OAB的面积；
（2）设直线l：y＝﹣2x+4与圆C交于点P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圆心C到直线l的距离．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.

（1）①证明：；
②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；
（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由三视图可知：底面，，底面是一个直角梯形，，，均为直角三角形，判断最长的棱，通过几何体求解即可.
【详解】
由三视图可知：该几何体如图所示，

则底面，，底面是一个直角梯形，其中，，，，可得，，均为直角三角形，
最长的棱是，.
故选：C.
本题考查了三视图，线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】
试题分析：可采用排除法，令和，验证选项，只有，使得，故选C．
考点：数列的通项公式．
3、A
【解析】
减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.
【详解】

故答案选A
本题考查了向量的加减法，属于简单题.
4、D
【解析】
根据正弦定理，得到，进而得到，再由两角和的正弦公式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以，
即，所以，
又因此，
所以，即三角形为直角三角形.
故选D
本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
5、C
【解析】
根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.
【详解】
因为在正方体中，，且平面，平面，
所以平面，因为平面，且平面平面，
所以有，而，则与不平行，故选项不正确；
若，则，显然与不垂直，矛盾，故选项不正确；
若平面，则平面，显然与正方体的性质矛盾，故不正确；
而因为平面，平面，
所以有平面，所以选项C正确，.
本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.
6、A
【解析】
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
四边形所示，作出直线，
由几何概型的概率计算公式知的概率，故选A.

7、C
【解析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角.
【详解】
由题意知，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：C.
本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，属于基础题.
8、B
【解析】
将只注射过新药和未注射过新药的小动物分别编号，列出所有的基本事件，并确定事件“恰有只注射过该新药”所包含的基本事件的数目，然后利用古典概型的概率计算公式可该事件的概率．
【详解】
将只注射过新药的小动物编号为、、，只未注射新药的小动物编号为、、，
记事件恰有只注射过该新药，
所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，
其中事件所包含的基本事件个数为个，由古典概型的概率公式得，
故选B．
本题考查古典概型的概率公式，列举基本事件是解题的关键，一般在列举基本事件有枚举法和数状图法，列举时应注意不重不漏，考查计算能力，属于中等题．
9、B
【解析】
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．
考点：古典概型及其概率的计算．
10、A
【解析】
结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案．
【详解】
由题意，当时，，函数与有交点，
故函数有零点；
当有零点时，不一定取， 只要满足都符合题意．
所以“”是“函数有零点”的充分不必要条件．
故答案为：A
本题主要考查了函数零点的概念，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数零点的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）、（2）、（3）
【解析】
利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前项和形式，逐一判断即可.
【详解】
既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确.
等差数列的前项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确.
等比数列的前项和是常数加上常数乘以的形式，故（3）正确.
故答案为：（1），（2），（3）
本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前项和，属于简单题.
12、
【解析】
设正方形的边长为，正方形的边长为，分别求出阴影部分的面积和平行四边形的面积，最后利用几何概型公式求出概率.
【详解】
设正方形的边长为，正方形的边长为，在长方形中，
，
故平行四边形的面积为，
阴影部分的面积为，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.
本题考查了几何概型概率的求法，求出平行四边形的面积是解题的关键.
13、
【解析】
将已知等式，两边同取以为底的对数，求出，利用换底公式，即可求解.
【详解】
，，
，
.
故答案为:.
本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.
14、
【解析】
首先根据在正方形S1和S2内，S1＝441，S2＝440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．
【详解】
因为S1＝441，S2＝440，
所以FD21，MQ＝MN，
因为AC＝AF+FC2121，
AC＝AM+MCMNcosαcosα，
所以：21cosα，
整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），
两边平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，
解得sin2α或sin2α（舍去），
故sin2α．
故答案为：．
本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式．
15、．
【解析】
试题分析：从中任取3个不同的数，有，，，，，，，
，，共10种，其中只有为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．
考点：用列举法求随机事件的概率．
16、
【解析】
本题考查的是数列求和，关键是构造新数列，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可．
【详解】
令，
则所求式子为的前9项和．
其中，，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
，
故答案为1．
本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，，；（2）分边抽取2,3,1人；（3）.
【解析】
（1）根据数据表和频率分布直方图可计算得到第组的人数和频率，从而可得总人数；根据总数、频率和频数的关系，可分别计算得到所求结果；（2）首先确定第组的总人数，根据分层抽样原则计算即可得到结果；（3）首先计算得到基本事件总数；再计算出恰好没有年龄段在包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
（1）第组的人数为：人，第组的频率为：

第一组的频率为 第一组的人数为：

第二组的频率为 第二组的人数为：

第三组的频率为 第三组的人数为：

第五组的频率为 第五组的人数为：

（2）第组的总人数为：人
第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人
（3）在（2）中抽取的人中随机抽取人，基本事件总数为：
所抽取的人中恰好没有年龄段在包含的基本事件个数为：
所抽取的人中恰好没有年龄段在的概率：
本题考查利用频率分布直方图计算总数、频数和频率、分层抽样基本方法的应用、古典概型计算概率问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识，能够通过频率分布直方图准确计算出各组数据对应的频率.
18、（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）由，证得平面，再由线面平行的性质，即可得到；
（2）取中点，连结，推得，，得到平面，
再由多面体的体积，结合体积公式，即可求解；
（3）由，设的中点为，连结，推得，从而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.
【详解】
证明：（1）因为平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以；
（2）取中点，连结，由得，
同理，又因为，所以平面，
在中，，所以，
所以多面体的体积
；
（3）由题意知，底面为边长2的菱形，，
所以，又，所以，
设的中点为，连结，
由侧面是正三角形知，，所以，
因此就是二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理得，
二面角的余弦值为.

本题主要考查了线面位置关系的判定，多面体的体积的计算，以及二面角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及而面积的平面角的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
19、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；
（1）为正三角形，为中点，可得，再由 底面，得
底面，得，可证平面，有，为
的平面角，解，即可求出结论.
【详解】
（1）连交于，连，三棱柱，
侧面为平行四边形，所以点为中点，
为中点，所以，因为平面，
平面，所以直线平面；
（2）为正三角形，为中点，可得，
三棱柱，所以， 底面，
所以 底面，底面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，
为的平面角，
在中，， ，
所以 ，
所以二面角的大小为.

本题考查线面平行的证明，用几何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题.
20、 (1)4 (2)
【解析】
（1）求得圆的半径，设出圆的标准方程，由此求得两点坐标，进而求得三角形的面积.
（2）根据，判断出，由直线的斜率求得直线的斜率，以此列方程求得，根据直线和圆相交，圆心到直线的距离小于半径，确定，同时得到圆心到直线的距离.
【详解】
（1）根据题意，以点（a∈R，且a≠0）为圆心的圆过坐标原点O，设圆C的半径为r，
则r2＝a2，
圆C的方程为（x﹣a）2+（y）2＝a2，
令x＝0可得：y＝0或，则B（0，），
令y＝0可得：x＝0或2a，则A（2a，0），
△OAB的面积S|2a|×||＝4；
（2）根据题意，直线l：y＝﹣2x+4与圆C交于点P、Q，则|CP|＝|CQ|，
又由|OP|＝|OQ|，则直线OC与PQ垂直，
又由直线l即PQ的方程为y＝﹣2x+4，则KOC，
解可得a＝±2，
当a＝2时，圆心C的坐标为（2，1），
圆心到直线l的距离d，r，r＞d，此时直线l与圆相交，符合题意；
当a＝2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），
圆心到直线l的距离d，r，r＜d，
此时直线l与圆相离，不符合题意；
故圆心C到直线l的距离d．
本小题主要考查圆的标准方程，考查直线和圆的位置关系，考查两条直线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
21、（1）①见解析；②见解析，；（2）.
【解析】
（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；
（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．
【详解】
（1）①，，，，
，，，，
，
，
；
②由知，点为四边形外接圆的圆心，
，，，
，四边形外接圆的圆心为的中点，
点的坐标为；
（2）由两点间的距离公式可得，，，，
过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，
，
设的坐标为，则，，
，，
点的坐标为．
本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.