2025届河北省枣强县枣强中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025届河北省枣强县枣强中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，，，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．12
2．在空间中，有三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，下列判断正确的是
A．若∥，∥，则∥ B．若，，则∥
C．若，∥，则 D．若，，∥，则∥
3．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz等于
A．-4 B． C． D．
4．设双曲线的左右焦点分别是，过的直线交双曲线的左支于两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．在等差数列中，，则等于()
A．2 B．18 C．4 D．9
6．若，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C．的最小值为2 D．
7．某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（ ）

A．200 B．400 C．2000 D．4000
8．如图，是的直观图，其中轴，轴，那么是（ ）

A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
9．已知的等比中项为2，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4
10．不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．记为等差数列的前项和，若，则___________.
12．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___

13．已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为______
14．已知，为第二象限角，则________
15．甲船在岛的正南处， ，甲船以每小时的速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____.
16．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为.
（1）求C点坐标；
（2）求直线BC的方程.
18．已知向量.
（1）若，且，求实数的值；
（2）若，且与的夹角为，求实数的值.
19．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组

8
0.16
第2组

▆
第3组

20
0.40
第4组

▆
0.08
第5组

2

合计
▆
▆

（1）求的值；
（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
20．已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：
21．数列，各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据，，得到，，平方计算得到最小值.
【详解】

故答案为C
本题考查了向量的模，向量运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力.
2、C
【解析】
根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，A中，若∥，∥，则与可能平行、相交或异面，故A错误；
B中，若，，则与c可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B错误；
C中，若，∥，则,正确；
D中，若，，∥，则与可能平行或异面，故D错误；
故选C．
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．
3、C
【解析】
.
4、C
【解析】

，则，所以，，
则，
所以，故选C。
点睛：离心率问题关键是利用圆锥曲线的几何性质，以及三角形的几何关系来解决，本题中，由双曲线的几何性质，可以将图中的各边长都表示出来，再利用同一个角在两个三角形中的余弦定理，就可以得到的等量关系，求出离心率。
5、D
【解析】
利用等差数列性质得到，，计算得到答案.
【详解】
等差数列中，

故选：D
本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.
6、D
【解析】
由，根据不等式乘方性质可判断A不成立；由指数函数单调性可判断B不成立；由基本不等式可判断C不成立，D成立．
【详解】
对于A,若，则有，故A不成立；
对于B,根据指数函数单调性，函数单调递减，，故B不成立；
对于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；
则D能成立.
故选：D.
本题考查基本不等式、不等式的基本性质，考查不等式性质的应用，属于基础题.
7、A
【解析】
由频率和为1，可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数÷总数=频率，即可得到本题答案.
【详解】
由图，得成绩大于90分对应的频率=，
设该校参加初赛的人数为x，则，得，
所以该校参加初赛的人数约为200.
故选：A
本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数÷总数=频率的应用.
8、D
【解析】
利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出的形状．
【详解】
在斜二测画法中，平行于坐标轴的直线，平行关系不变，
则在原图形中，轴，轴，所以，，因此，是直角三角形，
故选D．
本题考查斜二测直观图还原，解题时要注意直观图的还原原则，并注意各线段长度的变化，考查分析能力，属于基础题．
9、C
【解析】
由等比中项得：，目标式子变形为，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
，
等号成立当且仅当，原式的最小值为5.
利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.
10、B
【解析】
把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集．
【详解】
由,得(x−1)(x+3)>0，解得x<−3或x>1.
所以原不等式的解为，
故选：B.
本题考查一元二次不等式的解法，求出二次方程的根结合二次函数的图象可得解集，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、100
【解析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】
得

本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．
12、6
【解析】
先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.
【详解】
几何体如图所示：

去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的 ，
所以三棱柱的体积：
所以几何体的体积：
本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.
13、
【解析】
根据题意，化简得，利用式相加，得到，进而得到，即可求解结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
将以上各式相加，得，
又，所以，解得或.
本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
14、
【解析】
先求解,再求解,再利用降幂公式求解即可.
【详解】
由,又为第二象限角,
故,且.又.
故答案为：
本题主要考查了降幂公式的用法等,属于基础题型.
15、
【解析】
根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值.
【详解】
假设经过小时两船相距最近，甲、乙分别行至，，
如图所示，可知，，，
．
当小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为．

本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.
16、.
【解析】
设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.
【详解】
设向量、的夹角为，
由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据点斜式求出AC边所在的直线方程，再由CM所在直线方程，两方程联立即可求解.
（2）设，根据题意可得，，两式联立解得
的值，再根据两点式即可得到直线BC的方程.
【详解】
（1） AC边上的高BH所在直线方程为，且
，AC边所在的直线方程为，
由AB边上的中线CM所在直线方程为，
，解得，故C点坐标为.
（2）设，则由AC边上的高BH所在直线方程为，
可得，
AB边上的中线CM所在直线方程为，
，
，解得，故点的坐标为，
则直线BC的方程为，即.
本题考查了点斜式方程、两点式方程，同时考查了解二元一次方程组，属于基础题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据平面向量加法和数乘的坐标表示公式、数量积的坐标表示公式，结合两个互相垂直的平面向量数量积为零，进行求解即可；
（2）利用平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
（1）当时，.
因为，所以；
（2）当时，所以有，因为与的夹角为，
所以有.
本题考查了平面向量运算的坐标表示公式，考查了平面向量夹角公式，考查了数学运算能力.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.
（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】
（1）由频率分布表可得
内的频数为,
∴
∴内的频率为
∴
∵内的频率为0.04
∴
（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、
从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.
所以.
∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.
本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.
20、（1）证明见解析，；（2）见解析.
【解析】
（1）根据递推关系式可整理出，从而可证得结论；利用等比数列通项公式首先求解出，再整理出；（2）根据可求得，从而得到的通项公式，利用裂项相消法求得，从而使问题得证.
【详解】
（1）由得：
即，且
数列是以为首项，为公比的等比数列

数列的通项公式为：
（2）由（1）得：

又
即：
本题考查利用递推关系式证明等比数列、求解等比数列通项公式、裂项相消法求解数列前项和的问题，属于常规题型.
21、（1）证明见解析，；（2）3
【解析】
（1）由题得，即得数列为首项和公差都是的等差数列，再求出，再利用项和公式求数列的通项公式.(2)先求出，再利用裂项相消求出，最后解二次不等式得解.
【详解】
（1）证明：，当时，，
整理得，，
又，
数列为首项和公差都是的等差数列.
，
又，
时，，又适合此式
数列的通项公式为；
（2）解：

依题意有，解得，
故所求最大正整数的值为.
本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.