北京丰台区十二中2024-2025学年数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

北京丰台区十二中2024-2025学年数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知平行四边形对角线与交于点，设，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知随机事件和互斥，且,.则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，则（ ）
A．10 B．20 C．100 D．200
4．已知集合，对于满足集合A的所有实数t，使不等式恒成立的x的取值范围为　　
A． B．
C． D．
5．若变量，满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是
A． B．
C． D．
6．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
7．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
8．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（ ）

A．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长
B．该超市这五个月中，利润基本保持不变
C．该超市这五个月中，三月份的利润最高
D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关
9．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
10．已知数列的前项和为，且，，则( )
A．127 B．129 C．255 D．257
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．
12．已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：_____.

1
2
3
4

0.1

3.1
4

13．若点，是圆C：上不同的两点，且，则的值为______.
14．若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是_____．
15．已知，，若，则的取值范围是__________．
16．数列中，若，，则______；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为

证明：为的中点：
求三棱锥的体积
18．已知为的三内角，且其对边分别为．且
（1）求的值；
（2）若，三角形面积，求的值．
19．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，证明不等式：.
20．已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，数列的前n项和为，求证：.
21．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.

（1）若，求三棱柱的体积；
（2）证明：平面；
（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果.
【详解】

本题正确选项：
本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.
2、D
【解析】
根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
【详解】
与互斥

本题正确选项：
本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.
3、C
【解析】
由题可得数列是以为首相，为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出
【详解】
因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列
，所以，则
本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题．
4、B
【解析】
由条件求出t的范围，不等式变形为恒成立，即不等式恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理．
【详解】
由得，，
不等式恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，
只需或恒成立，
只需或恒成立，
只需或即可．
故选：B．
本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．
5、C
【解析】
由， 由 ，当最大时， 最小，此时 最小，，故选C.
【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数.
6、B
【解析】
根据，在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.
【详解】
因为直线与线段相交，
所以，，在直线异侧或其中一点在直线上，
所以，
解得或，故选B.
本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
7、A
【解析】
按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.
【详解】
，，三所学校教师总和为540，从中抽取60人，
则从学校中应抽取的人数为人.
故选:A.
本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.
8、D
【解析】
根据折线图，分析出超市五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性.
【详解】
对于A选项，五个月的利润依次为：，其中四月比三月是下降的，故A选项错误.
对于B选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比较大的波动，故B选项错误.
对于C选项，五个月的利润依次为：，所以五月的利润最高，故C选项错误.
对于D选项，根据图像可知，超市这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D选项正确.
故选：D
本小题主要考查折线图的分析与理解，属于基础题.
9、B
【解析】
九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．
【详解】
由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．记最小的儿子年龄为，则，解得．
故选B．
本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．
10、C
【解析】
利用迭代关系，得到另一等式，相减求出，判断数列是否为等比数列，利用等比数列求和公式可得.
【详解】
因为，，所以，
相减得，，，又，所以，，所以数列是等比数列，所以，故选C.
本题考查等比数列的求和，数列通项公式的求法，考查计算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【详解】
由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=1．
故答案为1．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．
12、
【解析】
根据回归直线方程过样本点的中心，代入数据即可计算出的值.
【详解】
因为，，
所以，解得.
故答案为：.
本题考查根据回归直线方程过样本点的中心求参数，难度较易.
13、
【解析】
由，再结合坐标运算即可得解.
【详解】
解：因为点，是圆C：上不同的两点，
则，，
又
所以，
即，
故答案为：.
本题考查了向量模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
14、．
【解析】
根据题意可知，，从而得出，再由，即可求出的取值范围．
【详解】
解：由题意可知，，且，
，，
，或，
故的取值范围是，
故答案为：．
本题主要考查等比数列的极限问题，解题时要熟练掌握无穷等比数列的极限和，属于基础题．
15、
【解析】
数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．

结合图形不难求得，当－3＜b≤3时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y＞0)有公共点．
16、
【解析】
先分组求和得，再根据极限定义得结果.
【详解】
因为，，……，，
所以
则.
本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析（2）
【解析】
（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点．
（2）根据，即求出即可．
【详解】
（1）证明：因为面，平面，

所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，，所以为的中点
（2）由题意平面

本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．
18、 (1) ； (2)
【解析】
（1）利用正弦定理化简，并用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，求得，由此求得的大小.（2）利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理列方程，化简求得的值.
【详解】
解：（1），得：
∵
∴，
即
∵，∴，∵，∴
（2）由（1）有，
又由余弦定理得：
又，，
所以
本小题主要考查三角形的面积公式，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）分和两种情况讨论，利用，可得出数列的通项公式；
（2）由得，从而可得，即可证明出结论.
【详解】
（1），，.
①当时，数列是各项均为的常数列，则；
②当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，.
当时，也适合.
综上所述，；
（2）由，得，
，，
，
因此，.
本题考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据和的关系式，利用，整理化简得到，从而证明是等差数列；
（2）利用由（1）写出的通项，利用裂项相消法求出，从而证明
【详解】
（1）因为，
所以当时，
两式相减，得到，
整理得，
又因为，所以，
所以数列是等差数列，公差为3；
（2）当时，，
解得或，
因为，所以，
由（1）可知，即公差，
所以，
所以，
所以

本题考查根据与的关系证明等差数列，裂项相消法求数列的和，属于中档题.
21、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.
【解析】
（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；
（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；
（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.
【详解】
（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
且，，，
∴由三棱柱体积公式得：；
（2）证明：取的中点，连接，，

∵，分别为和的中点，
∴，，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
又，
∴平面平面，
∵平面，∴平面；
（3）连接，设，
则由题意知，，
∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
∴平面平面，
∵，∴，又点是的中点，
∴平面，∴，
要使平面，只需即可，
又∵，∴，
∴，即，
∴，则时，平面.
本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.