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2025届新疆哈密石油高级中学高一下数学期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是

A．60 B．55 C．45 D．50
2．已知全集，集合，，则为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
3．数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，则a2019的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
4．已知集，集合，则
A．(-2,-1) B．(-1,0) C．(0,2) D．(-1,2)
5．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
6．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．方向上的投影为 B．
C． D．
8．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）

A． B． C． D．
9．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)
A． B．
C． D．
10．如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm．

A．12 B．16 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知变量和线性相关，其一组观测数据为，由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知，则______.
12．已知角的终边经过点，则______．
13．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则B=
14．若，，则___________.
15．异面直线，所成角为，过空间一点的直线与直线，所成角均为，若这样的直线有且只有两条，则的取值范围为___________________.
16．已知数列，其前项和为，若，则在，，…，中，满足的的个数为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列满足，且是的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值.
18．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ cos2ωx－
(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .
（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.
19．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
20．设函数，其中.
（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值.
21．已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
分析：根据频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率，从而可得结果.
详解：由频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率为，
所以测试成绩落在中的人数为，，故选D.
点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.
2、C
【解析】
先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．
【详解】
由题得，故选C.
本题考查集合的运算，属于基础题．
3、B
【解析】
根据递推公式，算出即可观察出数列的周期为3，根据周期即可得结果．
【详解】
解：由已知得，，，
，…，，
所以数列是以3为周期的周期数列，故，
故选：B．
本题考查递推数列的直接应用，难度较易．
4、D
【解析】
根据函数的单调性解不等式，再解绝对值不等式，最后根据交集的定义求解.
【详解】
由得，由得，
所以，
故选D.
本题考查指数不等式和绝对值不等式的解法，集合的交集.指数不等式要根据指数函数的单调性求解.
5、C
【解析】
根据向量关系，，所在直线经过中点，由得，即可得解.
【详解】
由题：，所以O是外接圆的圆心，
取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心，
，，，
，即，同理可得，即P是三角形的垂心.
故选：C
此题考查利用向量关系判别三角形的外心，重心和垂心，关键在于准确进行向量的运算，根据运算结果得结论.
6、B
【解析】
根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.
【详解】
由题意知： ，则

设向量与向量的夹角为
则
本题正确选项：
本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.
7、B
【解析】
试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确； B．，所以B错误；
C．，所以，所以C正确；
D．，所以．D正确．
考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．
点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．
8、A
【解析】
分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设

=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
9、C
【解析】
关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.
10、B
【解析】
根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解.
【详解】
根据直观图，可知原图形为平行四边形，
因为正方形的边长为2cm，
所以原图形 cm，
，则，
所以原平面图形的周长为，
故选：B.
本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、355
【解析】
根据回归直线必过样本点的中心，根据横坐标结合回归方程求出纵坐标即可得解.
【详解】
由题：，回归直线方程为，
所以，
.
故答案为：355
此题考查根据回归直线方程求样本点的中心的纵坐标，关键在于掌握回归直线必过样本点的中心，根据平均数求解.
12、
【解析】
由题意，则.
13、
【解析】
根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.
【详解】
根据题意,
由正弦定理可得

则
所以答案为。
本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。
14、
【解析】
将等式和等式都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出的值.
【详解】
若，，
将上述两等式平方得，①
，②，
①＋②可得，求得，故答案为．
本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.
15、
【解析】
将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，根据题意可以求出的取值范围.
【详解】
将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，异面直线，所成角为，可知，所以，所以在方向，要使有两条，则有：，在方向，要使不存在，则有，综上所述，.
故答案为：

本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.
16、1
【解析】
运用周期公式，求得，运用诱导公式及三角恒等变换，化简可得，即可得到满足条件的的值．
【详解】
解：，
可得周期，

，
则满足的的个数为
．
故答案为：1．
本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)8
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意列出有关和的方程组，可解出和的值，从而可求出数列的通项公式；
（2）先得出，利用裂项法求出数列的前项和，然后解不等式，可得出的取值范围，于此可得出的最大值．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，，即，
∴，
是，的等比中项，
∴，即，解得.
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）得
∴
.
由，得，∴使得成立的最大正整数的值为8.
本题考查等差数列的通项公式，考查裂项求和法，解等差数列的通项公式，一般是利用方程思想求出等差数列的首项和公差，利用这两个基本两求出等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题．
18、（1）f(x)＝sin.（2）
【解析】
　试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出 的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.
试题解析：
(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin的图象．
所以g(x)＝sin.
由，
得
所以所求的单调减区间为
19、（1）（2）或（3）
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件直接求解；(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解；(3)借助题设建立关于的不等式,运用分析推证的方法进行求解.
试题解析：
（1）的面积为2；
（2）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，
所以外接圆圆心，半径，圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.
当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；
当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，
综上，直线的方程为或.
（3）直线的方程为，设，，
因为点是线段的中点，所以，又，都在半径为的圆上，所以
因为关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以，
又，所以对成立.
而在上的值域为，所以且.
又线段与圆无公共点，所以对成立，即.
故圆的半径的取值范围为.
考点：直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，解得的范围，再结合的意义分段函数形式写出函数的解析式即可.
（2）利用的奇偶性，只需要考虑的情形，只需分两种情形讨论：，当时，分别求出的最小值即可.
【详解】
（1），
令，得，
解得或，

（2）因为是偶函数，所以只需考虑的情形，
当时，，当时，
当时，，当时，，
时，.
本题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求法、不等式的解法等基本知识，考查了运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题.
21、 (1) an＝2n+1；bn＝3n；(2) Sn＝n•3n+1．
【解析】
（1）利用基本元的思想，结合等差数列、等比数列的通项公式、等比中项的性质列方程，解方程求得的值，从而求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和.
【详解】
（1）公差d不为零的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}，
a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比数列，
可得3q＝3+3d，a1a13＝a42，即（3+3d）2＝3（3+12d），
解得d＝2，q＝3，
可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；bn＝3n；
（2）cn＝an•bn＝（2n+1）•3n，
前n项和Sn＝3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n，
3Sn＝3•32+5•33+7•34+…+（2n+1）•3n+1，
两式相减可得﹣2Sn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1
＝9+2•（2n+1）•3n+1，
化简可得Sn＝n•3n+1．
本小题主要考查等差数列，等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.