新疆石河子二中2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

新疆石河子二中2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．在中, ,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(   )
A． B． C． D．
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论中错误的是（　　　　）

A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
6．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
7．已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A．13 B．3 C． D．
8．在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为( )
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
10．角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等腰三角形底角的余弦值等于，则这个三角形顶角的正弦值为________．
12．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.
13．化简：______.（要求将结果写成最简形式）
14．若实数满足，，则__________．
15．已知向量，，，则_________.
16．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差及前项和.
18．如图，在四棱锥P～ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别为AD，PB的中点，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．

（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）设G为AB中点，求证：平面EFG⊥平面PCD．
19．设的内角所对的边分别为，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
20．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.
（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
21．已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)若，令，求函数的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案.
【详解】
根据题意，设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即时，当时，，
则的图象如图：

在区间上为减函数，
若，即，又由，
且，必有时，，
解得，
因此不等式的解集是，故选C.
本题主要考查了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是本题的关键，属于难题.
2、A
【解析】
连结，结合几何体的特征，直接求解 与所成角的余弦值即可．
【详解】
如图所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，
连结，则与所成角就是中的，
所以与所成角的余弦值为：＝＝．
故选A．

本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．
3、C
【解析】
由已知条件，先求出函数的周期，由于，即可求出值域.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以当时，；
当时，；当时，，
所以的值域为.
故选：C.
本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.
4、A
【解析】
画出图形，由已知条件便知P点在以BD， BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2
倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC
的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求
出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．
【详解】
如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；
在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；
∴由余弦定理得，；
解得：AB=5，或AB=（舍去）；
又O为△ABC的内心；
所以内切圆半径r=,
所以
∴==；
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．
故答案为：A．

本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.
5、B
【解析】
根据面面平行的性质定理，判断A选项是否正确，根据锥体体积计算公式，判断BCD选项是否正确.
【详解】
对于A选项，易得平面与平面平行，所以平面成立，A选项结论正确.
对于B选项，由于长度一定，所以三角形面积为定值.到平面的距离，也即到平面的距离一定，所以四面体体积为定值，故B选项结论错误.
对于C选项，由于长度一定，所以三角形面积为定值. 到平面的距离，也即到平面的距离一定，所以三棱锥体积为定值，故C选项结论正确.
对于D选项，由于三角形面积为定值，到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值.
综上所述，错误的结论为B选项.
故选：B

本小题主要考查利用面面平行证明线面平行，考查三棱锥（四面体）体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
6、C
【解析】
根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.
【详解】
设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.
本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.
7、C
【解析】
先求出直线方程，然后计算出圆心到直线的距离，根据面积的最大时，以及高最大的条件，可得结果.
【详解】
由，利用直线的截距式
所以直线方程为：
即
由圆，即
所以圆心为，半径为
则圆心到直线的距离为
要使面积的最大，则圆上的点到
最大距离为
所以面积的最大值为

故选：C
本题考查圆与直线的几何关系以及点到直线的距离，属基础题.
8、C
【解析】
由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.
【详解】
解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；
必要性：在△中，由及正弦定理，可得，
可得,,故，必要性成立；
故可得：在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的充分必要条件，
故选C.
本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.
9、D
【解析】
由韦达定理确定 ，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值．
【详解】
由韦达定理得： ， ，所以 ，
由题意 这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间
所以，即
因为 这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在 的中间
假设 ，则
即

故选D
本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且 ，，则2必为等比中项，有．
10、C
【解析】
先由直线的斜率得出，再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式，并在分子分母中同时除以，利用弦化切的思想求出所求代数式的值．
【详解】
角的终边在直线上，，
则，故选C．
本题考查诱导公式化简求值，考查弦化切思想的应用，弦化切一般适用于以下两个方面：
（1）分式为角弦的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以弦化切；
（2）代数式为角的二次整式，先除以，转化为角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同时除以，可以实现弦化切．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
已知等腰三角形可知为锐角，利用三角形内角和为，建立底角和顶角之间的关系，再求解三角函数值．
【详解】
设此三角形的底角为，顶角为，易知为锐角，则，，所以．
给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．
12、
【解析】
根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为，
图象正好关于原点对称，
即，
又 ，的最小值为.
故答案为：.
本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.
13、
【解析】
结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可
【详解】

故答案为：
本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题
14、
【解析】
由反正弦函数的定义求解．
【详解】
∵，∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．
15、
【解析】
根据向量平行交叉相乘相减等于0即可．
【详解】
因为两个向量平行，所以
本题主要考查了向量的平行，即，若则，属于基础题．
16、
【解析】
曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.
【详解】
由消去得，
则 ，
由三角函数的定义得

故.
本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、，
【解析】
先设等差数列的公差为 ，根据第6项为正数，从第7项起为负数，得到 求，再利用等差数列前项和公式求其.
【详解】
设等差数列的公差为 ，
因为第6项为正数，从第7项起为负数，
所以 ，
即，
所以
又因为
所以
所以
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、 (1) 证明见解析 (2)证明见解析
【解析】
（1）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.
（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，从而证得平面平面.
【详解】
（1）证明：取PC的中点H，连接FH

则FH∥BC，FH，
又ED∥BC，ED，
∴ED∥FH，ED＝FH，
∴四边形EFHD为平行四边形，
∴EF∥DH，
又DH⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD；
（2）证明：∵PE⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥AP（三垂线定理），
又AP⊥PD，
∴AP⊥平面PCD，
又∵GF∥AP，
∴GF⊥平面PCD，
∴平面EFG⊥平面PCD．
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）因为，
所以
分别代入得解得
（Ⅱ）由得，
因为所以
所以
【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.
20、（1）（2）
【解析】
（1）直线过定点P，故设直线l的方程为，再由点到直线的距离公式，即可解得k，得出直线方程；（2）设直线方程，，表示出A，B点的坐标，三角形面积为，根据k的取值范围即可取出面积最小值．
【详解】
解：（1）由题意可设直线的方程为，即，
则，解得.
故直线的方程为，即.
（2）因为直线的方程为，所以，，
则的面积为.
由题意可知，则（当且仅当时，等号成立）.
故面积的最小值为.
本题考查求直线方程和用基本不等式求三角形面积的最小值．
21、（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
(1)讨论的范围，分情况得的三个答案.
(2) 时，写出表达式，利用均值不等式得到最小值.
【详解】
(1)
①当时，不等式的解集为，
②当时，不等式的解集为，
③当时, 不等式的解集为
(2)若时，令（当且仅当，即时取等号）.
故函数的最小值为.
本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.