高三文科数学033.doc

东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数： 0511 SXG3 033学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇二十五 高三文科数学总复习二十 三角函数式的化简与求值【学法引导】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.【应用举例】例1 不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：设x=sin220+cos280+sin20cos80，y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y =，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.例2 设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讨论等.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=2,+，故2a1=，解得：a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kZ，ymax=5.例3 已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x，时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，则x=，故f-1(1)= .例4 已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=，sin2sin2=2cos(+)sin()=.sin2=.本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的最值或值域，5化简求值.2.技巧与方法：（1）要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.（2）注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.（3）对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.（4）求最值问题，常用配方法、换元法来解决.【强化训练】一、选择题1已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A. B.2 C. D. 或22计算的结果应是（ ）A1 B C D1二、填空题3已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.4设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_.三、解答题5不查表求值:6已知cos(+x)=，(x)，求的值.7已知=，且k(kZ).求的最大值及最大值时的条件.8如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60，四边形PQRS是扇形的内接矩 形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.9已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是D，xD，求函数y=的最小值，并求y取得最小值时x的值.参考答案一、1解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),则(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案：B2C3解析：sin=,(,),cos=则tan=,又tan()=可得tan=,答案：4解析：(),(0, ),又cos()=.答案：三、5答案：2（kZ）, （kZ）当即（kZ）时,的最小值为1.8解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cos,sin)，则PS=sin.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)= (sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+).0，2+，sin(2+)1.sin(2+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，=，点P为的中点，P().9解：设u=sin+cos，则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即D=1,1,设t=,1x1,1t.x=.