高三文科数学052.doc

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期数：0512 SXG3 052
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇三十八 高三文科数学总复习三十三
———圆的方程

【学法引导】
圆是最常见的基本曲线之一，新教材把圆从圆锥曲线一章中分离出来，与直线集中在一起，构成解析几何的基础部分，以初步培养学生应用坐标法与解析思想解题的意识和能力.这一编写意图必将在高考中得到反映.
高考对圆的方程的考查主要集中于直线与圆的位置关系，与圆有关的轨迹问题及对称问题等，极少考查两圆的位置关系，通常为一个难度容易的选择题或填空题，也曾一度编拟难度较大的解答题，新一届仍将为上述题型，考查内容还应注意圆的参数方程的应用.
【应用举例】
例1 有一圆与直线相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.
分析一：可把点(3,6)看成特殊的圆.
解法一：由题意及分析设所求圆的方程为：
，
又过点(5,2)代入求得，
∴所求圆的方程为.
分析二：设圆的标准方程，寻找三个方程求解.
解法二：设圆的方程为，
则圆心为，由，
得
解得，
∴圆的方程为.
分析三：设圆的一般方程求解.
解法三：设圆的方程为，
由，A(3,6),B(5,2)在圆上，
得 解得
∴所求圆的方程为.
解法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，
则CA方程为，即，
又kAB ，
∴，∴直线BP方程为，
解方程组，得，∴P(7,3)，
∴圆心为AP中点，半径为，
∴所求圆的方程为.
☆点拨解疑
解法一、二、三皆为待定系数法，但解法一更为简便、大胆，把点看成圆设曲线系方程是关键，解法四利用圆的几何性质挖掘隐含条件，思路开阔.
例2 方程：表示圆，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
分析：表示圆的充要条件为
.
解：由题意，
∴
解得，故选D.
☆点拨解疑
作为选择题也可用排除法，令a=0方程为表示圆，排除A、C；令a=1，方程为不表示圆，排除B.“磨刀不误砍柴工”，故选择题一般只要多思考，多分析可寻找到更简便的解法.
例3 在△ABC中，|BC|=6，∠ABC=45°，求顶点A的轨迹方程.
解：以BC所在直线为x轴，以BC中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则B(－3,0),C(3,0),设A(x,y)，∠A=45°，
（1）当点A在x轴上方时，，
∴，即.
（2）当点A在x轴下方时，，
∴，即.
☆点拨解疑
初中平面几何里讲到六种基本轨迹，本题为其中一种，为高考中的“冷点”，应加以重视.
例4 过点P(7,1)作圆的切线，求切线方程.
分析一：利用切线的定义解题.
解法一：设切线方程为，即，又已知圆的圆心为(0,0)，半径r=5，则，解得，
∴切线方程为.
分析二：利用切线方程与圆方程组成的方程组只有一组解解题.
解法二：设切线方程为，
则由方程组消去y，得
，
令，得.
所以切线方程为.
☆点拨解疑
解法一只适用于直线与圆的位置关系，且直线与圆的位置关系一般用此法较为简便；解法二适用于直线与圆锥曲线的位置关系更具有一般性.
（1）本题点在圆外，若点在圆上，则切线方程为，若点在圆上，则切线方程为.
（2）若点在圆外，2中切线方程为相应圆的切点弦方程.
例5 证明：必存在一定值c，使直线与圆的交点P、Q满足OP⊥OQ(O为原点).
分析：若先求出交点坐标，然后利用斜率关系较繁，故从OP⊥OQ入手，引出如下解法.
证明：设P、Q坐标分别为、，
则，
∵OP⊥OQ，
∴，即，
联立方程组消去x得
，∴，
，
∴，解得c=3，
经检验，方程有，
故存在c使得OP⊥OQ.
☆点拨解疑
①若O(0,0),，则OP⊥OQ的充要条件为；
②要重视一些基本图形，基本结论在解题中的作用，它可以把问题有机地分割成若干小题，使于寻找突破口，解决问题.
例6 设圆满足：①截y轴所得弦为2； ②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程.（1997年全国高考题）
分析：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力.
首先求出满足条件①、②的圆的圆心轨迹方程；然后由圆心到直线的距离的代数式与圆心满足的条件，确定距离最小的圆心的坐标.
解法一：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为，故.
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有，从而得，
又点P(a,b)到直线的距离为，
所以，
当且仅当a=b时，上式等号成立，此时，从而d取得最小值，
由此有
解法二：同解法一得，
所以 ①
将代入①式，整理得
②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，
即，得，
可见有最小值1，从而d有最小值，
将其代入②式得，
，所以，
由知a,b同号，
于是，所求圆的方程是或.
解法三：同解法一，由，得，
令，代入P点到直线的距离公式
，
令，即
，
其中，，
因为，所以，
因此，当|t|=1时取等号，
当t=1时，，取；
当t=－1时，，取.
解出.
因此所求圆的方程为或.
☆点拨解疑
该题给出的三个条件比较新颖脱俗，但思路却是基本的，方法也是基础的，为了用好这三个条件，必须综合灵活地运用有关的平面几何知识、代数知识、解析几何知识，将所给条件转化，这也是今后高考的发展方向.
求最小值，常用的有三种方法：①基本不等式法；②判别式法；③三角函数法.以上的三种解法分别用了这三种方法，解法三利用了双曲线的参数方程.
本题考查知识点多，思维层次高，需要较好的数学素养.失误原因如下：
（1）条件②理解错误，误以为圆截x轴为圆内接等边三角形的底边；
（2）未能领会由条件①，②导出的表示圆心轨迹是一条双曲线，对后继思维造成困难；
（3）找不到求最小值的途径；
（4）求出d的最小值为以后，主观认定a、b为正数，失去一个解.
【强化训练】
一、选择题
1．圆与直线R，Z的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
2．过点A(1,－1),B(－1,1)，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．圆关于直线对称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点
5．两圆（k＞0）在交点处的切线互相垂直，则k的值为（ ）
A．5 B．4
C．3 D．
二、填空题
6．如果三角形顶点为O(0,0)、A(0,15)、B(－8,0)，那么它的内切圆方程为_________.
7．若圆交直线于A、B两点，且OA⊥OB，则k的值为______.
8．若BC是圆的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是________.
9．集合，其中r＞0,若中有且仅有一个元素，则r的值是_________.
三、解答题
10．已知圆和直线相交于A、B两点，且OA，OB与x轴的E方向所成的角分别为.求证：为定值.
11．已知圆C过定点，且在x轴上截得的弦|MN|的长为2a.
（1）求圆C的圆心C的轨迹方程.
（2）若，求圆C的方程.
参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．A 4．C 5．C
二、填空题
6．
7．－16
8．
9．3或7
三、解答题
10．解：设，则，，
∴

又消去y，得，
则有，
∴
11．（1）设圆，则，
∴，
∴.
（2）设圆心，半径为R，则，
∴，∴，
又，
∴所求圆的方程为和