高三文科数学051.doc

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期数：0512 SXG3 051
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇三十七 高三文科数学总复习三十二
———简单的线性规划
【学法引导】
新教材由二元一次方程的解为坐标的点的集合导出二元一次不等式表示的平面区域，引出线性规划的概念及简单应用.因而考纲规定了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用，本届考题至多有一个考查概念的选择题、填空题，由于线性规划在生产、实际中的应用很广，也可能有一个简单应用题考查寻求经营和管理的最优化方案等.
图1
【应用举例】
例1 画出不等式组表示的平面区域.
解：先作出三条直线：

再标出平面区域，如图1.
★点拨解疑
当a＞0时，不等式表示的平面区域在直线的右下方（或右上方）；不等式表示的区域在直线的左上方（或左下方）.
例2 设式中变量x,y满足下列条件，求Z的最大值和最小值.
图2
分析：作出平面区域通过平
移直线的方法，求Z的最大和最小值.
解：作出满足条件的平面区域，
如图2，把看作是关于x,y的二元一次方程.
则当Z变化时，就是一组平行直线系，向上平移，Z变大；向下平移，Z变小，由图可知，当经过点B(1,1)时，Z最小，；
当经过点A(5,2)时，Z最大，.
例3 某厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和43cm两种规格的零件毛坯，试找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率.
图3
分析：可按如下步骤计算：（1）模型设计；（2）模型建立；（3）模型求解；（4）模型应用.
解：假设在截口处的损耗是0，所谓最佳下
料方案，就是要将一根钢材截出两种规格的零件毛坯，
其用料的和最接近2.5m.
设每根钢材可截成60cm和43cm长的毛坯各为x根，
y根，则本题的数学模型为：
求余料在约束条件
下的最小值.作出
所确定的平面区域，如图3所示.
由图易知，当直线在如图所示区域内经过的整数点中，点M(2,3)使取得最小值.此时，材料的利用率是，余料z=0.01m.
故将每根钢材截成60cm长的零件毛坯2根，截成43cm长的零件毛坯3根是最佳的下料方案，此时材料的利用率是99.6%.
★点拨解疑
（1）本题是在假设不计损耗的情况下计算的，事实上，在生产实际中，不损耗是不可能的，应该把切口的损耗计算在内，本题钢材的切割口是最少4个，最多5个，而余料为0.01m，从中可以看出，如果切割口的损耗每次不超过2.5mm，原方案仍是最佳方案，如果切割口的损耗每次超过2.5mm，则需另找最佳方案，请读者做一做.（2）请读者思考，如果一个整点恰好落在线段AB上，这个点所代表的方案是不是最佳的方案？
例4 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务，该公司有8辆载重6t的A型卡车与5辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元.请为该公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆，列表分析数据

A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
图4
由表可知x，y满足的线性条件：

且.
作出线性区域，如图，由图可知，当
直线过A(7.5,0)时，Z最小，
但A(7.5,0)不是整数点，继续向上平移直线可知，(5,2)是最优解，这时(元), 即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低.
若只用A型车的成本费为(元)，只用B型车的成本费为(元).
★点拨解疑
解这类题，应先列表分析数据，而后找出线性关系及目标函数，再根据线性规划求出最优整数解及目标函数的最大、最小值.
【强化训练】
一、选择题
1．点集所表示的平面区域为（ ）

图5
2．图5中的平面区域可用不等式表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．如图6的平面阴影部分区域用二元一次不等式组______表示，若设式中变量x,y满足上面的二元一次不等式组，则不等式组叫做变量x,y的______，叫做_______，满足条件的解_________（举两解）都叫做________，其中可行解________，使取得最大值，最大值是_______，可行解_______，使取得最小值，且最小值是_______，这两个解都叫做这个问题的_________.
图6

4．已知1≤x≤2, 2x－1≤y≤2x, 求的最小值是______.
5．已知，则a的取值范围为_______.
三、解答题
6．某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
规格类型
钢板类型

A规格
B规格
C规格
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
每张钢板的面积，第一种为1m2, 第二种为2m2，今需A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你为该厂计划一下，应分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？
7．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才合适？
参考答案
一、选择题
1．D 2．D
二、填空题

3．，约束条件，目标函数，(0,0)， (－1,－1)
可行解， (2,－1), 3, (－1,－1)，－2，最优解
4．1
5．(0,4)
三、解答题
6．解：设第一种钢板x块，第二种钢板y块，列下表分析数据：

第一种
第二种
限量
A
x
y
12
B
2x
y
15
C
x
3y
27
面积
x
2y
z=x+2y
由上表可知，
由图可知当直线过点时，z最小，
这时C不是可行域内的整数点，
取z=20时,(4,18)是最优整数解，这时min=20，
而取第一种钢板4块，第二种钢板8块，
所用钢板面积最小.
7．解：设桌椅分别买x,y张，依题意有
由 解得
满足以上不等式组所表示的区域如图所示，即以为顶点的△AOB及其内部，
对△AOB内的点P(x,y)，设x+y=z，即y=－x+z，这是斜率为－1，在y轴的截距为z的平行直线系，要使z最大，只有点P和点B重合时，即取，因为Z，所以y=37.
所以买桌子25张，椅子37张时，是最优选择.