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高三文科数学试题
（考试时间为120分钟，共150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则= （ ）
A． B． C． D．
2.．复数 （ ）
A． B． C． D．

3. 在独立性检验中，统计量有两个临界值：3.841和6.635；当＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 （ ）
A．有95%的把握认为两者有关 B．约有95%的打鼾者患心脏病
C．有99%的把握认为两者有关 D．约有99%的打鼾者患心脏病

4.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，
若，则的长等于 （ ）
A、2 B、4 C、6 D、5
5. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是 (　　 )
A．3 B．6 C． D．9

6.图l是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，、A2、…、A10。(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6
（ ）

正视图
侧视图
俯视图
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ）
A．外接球的半径为 B．表面积为
C．体积为 D．外接球的表面积为
8．一个球的表面积等于，它的一个截面的半径为，
则球心到该截面的距离为 （ ）
A． B． C．1 D．
9．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为 (　 )
A. B. C. D.
10．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
11. 设，则关于的不等式的解集是 （ ）
(A)，或 (B) (C)，或 (D)
12.已知，记数列的前n项和为，即，则使的n的最大值为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.曲线在点处的切线方程为__________________.
14. 已知等比数列中，若，则=          .
15. 已知则为    ________ ,
16. 已知函数在[－a，a]（a＞0）上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝               .
三、解答题：(本大题共70分) 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且满足(2b－c)·cosA－cosC＝0.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18. （本小题满分12分）
某校决定为本校上学时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学时间（单位：分钟），现对600人随机编号为001，002，…600．抽取50位学生上学时间均不超过60分钟，将时间按如下方式分成六组，第一组上学时间在[0，10），第二组上学时间在[10，20），…第六组上学时间在[50，60]得到各组人数的频率分布直方图．如图．

（Ⅰ）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一段的号码为006，则第五段抽取的号码是什么？
（Ⅱ）若从50个样本中属于第4组和第6组的所有人中随机抽取2人，设他们上学时间分别为、b，求满足|-b|＞10的事件的概率；
(Ⅲ) 设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？
19. （本小题满分12分）
已知如图：平行四边形ABCD中，，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

（Ⅰ）求证：GH∥平面CDE；
（Ⅱ）若，求四棱锥F-ABCD的体积．

20. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论．

21. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）判断函数在上的单调性（为自然对数的底）；
（Ⅱ）记为的导函数，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是⊙O的直径 ，是⊙O的一条弦 ，的平分线交⊙O于点，
⊥，且交的延长线于点，交于点．
（Ⅰ）求证：是⊙O的切线；
（Ⅱ）若，求的值.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。

高三文科数学试题答案
（考试时间为120分钟，共150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1—6 D A C C D B 7—12 A B C B A C
提示：12. 解：本题考查函数与数列的关系、数列、对称等知识。
因为函数图象关于点成中心对称，故，即，由图像易知在上单调递减，且，所以的最大值为4.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
【解析】首先确定出函数的导数，然后确定切线的斜率，利用点斜式方程得到。
解：因为曲线在点的切线斜率为1，那么由点斜式方程可知为
14. 9
【解析】,所以
15.
【解析】，。 。
16. 2

三、解答题：
17.（本小题满分12分）
【答案】（1）A＝ （2）△ABC为等边三角形．

解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得，
(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，…………3分
即sinB(2cosA－1)＝0.∵0<B<π，∴sinB≠0，
∴cosA＝. …………4分
∵0<A<π，∴A＝. …………6分
法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理得，(2b－c)·－a·＝0，
整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝.∵0<A<π，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsinA＝，…………7分
即bcsin＝，∴bc＝3.①…………9分
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6.②由①②得b＝c＝，…………11分
∴△ABC为等边三角形．…………12分

18. （本小题满分12分）
【答案】（1）第五段抽取的号码是054；（2）p=；
（3）全校上学时间不少于30分钟的学生约有120人，所以估计全校需要3辆校车．
解：
（1）600÷50=12，第一段的号码为006，第五段抽取的数是6+（5-1）×12=54，即第五段抽取的号码是054
（2）第4组人数=0.008×10×50=4，这4人分别设为A、B、C、D
第6组人数=0.004×10×50=2，这2人分别设为x，y随机抽取2人的可能情况是：AB  AC  AD  BC  BD  CD  xy  Ax  Ay  Bx  By  Cx  Cy  Dx  Dy一共15种情况，其中他们上学时间满足|a-b|＞10的情况有8种所以满足|a-b|＞10的事件的概率p=
（3）全校上学时间不少于30分钟的学生约有600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人所以估计全校需要3辆校车．

19. （本小题满分12分）
【答案】（1）见解析；（2）＝。
解：∵, ∴且
∴四边形EFBC是平行四边形　∴H为FC的中点--------2分
又∵G是FD的中点
∴----------------------------------------4分
∵平面CDE，平面CDE
∴GH∥平面CDE  --------------------------------------------------6分
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD
且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD. --------------------------------------------8
∵, ∴ 又∵ ，
∴BD⊥CD----------------------------------------------------------10分
∴ ＝            
∴ ＝---------------------12分
20. （本小题满分12分）
【答案】（1）．  ，椭圆的方程为     ……4分
（2）设直线的方程为：，
联立直线的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：
化简得：………（3）       ……………6分
当时，即，              
即时，直线与椭圆有两交点，      ………………7分
由韦达定理得：，       ………………8分
所以，，  ………………10分
则
 ，………………10分
21. （本小题满分12分）
【答案】（I）若,当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
若,则,函数在上单调递减.
（II） 。
解：（I）       …………1分
若,当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，…………3分
若,则,函数在上单调递减.               …………5分
（II） ，  ， ………7分
方法一：函数在区间上存在极值
等价为关于方程在上有变号实根
      在上单调递减，在上单调递增。
        …………10分
当时，，不存在极值  ……12分
方法二：  等价为关于方程在上有变号实根。
⑴  关于方程在上有两个不相等实数根；
                …………7分
⑵关于方程在上有一个实数根；

时，的解为
符合题意           …………10分
当时，的解为
均不符合题意 (舍)………14分   综上所述， …………12分

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】解：（Ⅰ） 证明：连结，可得 
∴，  又            
∴，又为半径 ∴是⊙O的切线   …………………5分
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H 则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=  
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x
∴AH="8x  " AD2=80x2
由△AED∽△ADB可得 AD2=AE·AB=AE·10x  
∴AE="8x                        " ……………………………8分
又由△AEF∽△DOF   可得AF∶DF= AE∶OD =；∴=  ………………………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）圆上的点到直线的距离的最小值为
解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1分

----------------3分
所以，该直线的直角坐标方程为：----------------5分
（Ⅱ）圆的普通方程为：----------------7分
圆心到直线的距离---------------9分
所以，圆上的点到直线的距离的最小值为----------------10分
24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
【答案】（1） （2）
解：（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且仅有一个等于1的解或无解，
结合图形得.                                  ……………………5分
（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；         
②当时，（*）可变形为，
令 …………………………8
因为当时，，当时，，
所以，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是. …………………………………10分
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