初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时).doc

专题一、数与式的运算
课时一：乘法公式
一、初中知识
1．实数运算满足如下运算律：
加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2．乘法公式
平方差公式：
完全平方公式：
二、目标要求
1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充
根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式
（1）
（2）
（3）立方和公式：
（4）立方差公式：
（5）两数和的立方公式：
（6）两数差的立方公式：
（7）三数和的平方公式：
四、典型例题
例1、计算：
（1） （2）
（3） （4）

例2：已知，，求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）
分析：（1）
（2）
（3）
（4）
例3：已知 求的值
分析：
变式：已知： ，求的值。
分析：
例4：证明：
分析：

例5：计算：．
分析一：原式===．
分析二：原式===．
例6． 计算
分析原式=
=
五、课堂练习
1．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
2．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
（3） ．
3、已知 ，求和的值
4．计算
（1） （2）
（3） （4）
5．已知：，求的值。
提示：
1．（1）D （2）A 2．（1）　 （2）　 （3）　
3、18和322 4、略 5、1

课时二：因式分解
一、初中知识
因式分解：提取公因式：
公式法：
二、目标要求
掌握提取公因式法和公式法的因式分解，理解分组分解法和十字相乘法的因式分解。
三、必要补充
1、“十字相乘法”因式分解
大家知道，．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
2．“求根法”因式分解
若关于的方程的两个实数根是，则二次三项式就可以分解为，这种因式分解的方法叫做求根法。
四、典型例题
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法、待定系数法等等．
1、公式法(立方和、立方差公式)
运用立方和(差)公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
【例1】因式分解：
(1) (2)
解：(1) .
(2)
.
说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；
(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．
【例2】因式分解：
(1) (2)
解：(1) ．
(2)

2、十字相乘法
（1）．型的因式分解
①二次项系数是1；② 常数项是两个数之积； ③一次项系数是常数项的两个因数之和．.
因此，.
【例3】因式分解：
(1) (2)
(3) (4)

解：(1) ．
(2) .
(3).
(4)
.
变式 (1) （2） (3)

（2）．一般二次三项式型的因式分解
【例4】因式分解：
(1) (2)
解：(1) .
(2) .
3、拆(添)项法
【例5】因式分解
解：

.
说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行：
(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；
(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
4、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
【例6】把分解因式．
解：.
说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
【例7】把分解因式．
解：

.
【例8】把分解因式．
解：
.

五、课堂练习
1．把下列各式分解因式：
(1) (2)
2．把下列各式分解因式：
(1) (2)
(3) (4)
3．把下列各式分解因式：
(1) (2)
(3) (4)
4．把下列各式分解因式：
(1) (2)
(3) (4)
提示：
1．（1） （2）
2．（1） （2）
（3） （4）
3．（1） (2)
(3) (4)
4．(1) (2)
(3)（ (4)

课时三：分式
一、初中知识
分式：分式的定义，分式的基本性质，分式的约分，分式的通分，分式的运算。
二、目标要求
掌握分式的基本性质及运算，了解繁分式的化简方法。
三、必要补充
像等这样的分式叫做繁分式，在化简繁分式时通常要用分式的基本性质，在分式的分子，分母中同乘分子，分母的最简化分母，有时也可以用分式的除法来化简。
四、典型例题
例1、化简下列各式
（1） （2）
（3）

例2：化简下列繁分式
（1） （2）

例3、（1）试证：
（2）计算
（3）证明：对任意正整数n，有
分析：（3）
∵＝+
＝，
例4：已知：，求代数式

例5：已知：

五、课堂练习
1．若 ，则 ( )
A．m－4,n＝ －l B．m＝5,n＝－1 C．m－3，n＝1 D．m＝4,n＝1
2．填空题：
（1）对任意的正整数n， ()；
（2）若，，则____ ____；
（3）若，则__ __；
（4）若,则__ __；
3．正数满足，求的值．

4．计算．

提示：
1．C
2、（1） （2） （3）或－ （4）
3． 4．

课时四：根式
一、初中知识
二次根式：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的运算
二、目标要求
1、掌握二次根式的性质和运算，了解最简单二次根式、同类二次根式的概念，理解二次根式的加减运算。
2、 了解n次根式的概念，理解分母（子）有理化的概念。
三、必要补充
1、一个正数的正的平方根和零的平方根叫做的算术平方根，记作：
2、二次根式的定义：形如的代数式叫做二次根式。
3、二次根式的性质：
（1），
（2）
（3）
4、次根式的定义：形如的代数式叫做次根式
性质：（1）为奇数时，
（2）为偶数时，
二次根式的运算
（1）二次根式相加减，先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数相加。
2、最简二次根式，同类二次根式
化简二次根式时，如果被开方式中有因式开得尽方，可用它的算术平方根代替移到根号外面，如果被开方式中含有分母，可用“分母有理化”化去分母，经这样化简后得到的二次根式。
典型类型：如果都是正实数，那么，
最简二次根式：满足①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式的二次方根，叫做最简二次根式.在进行二次根式的运算时，常先将二次根式化成最简二次根式后再进行计算，同时最后的结果也以最简二次根式呈现。
同类二次根式：如果两个最简的二次根式的被开方式相同，那么称它们为同类二次根式。
3、分母有理化：利用分式（分数）的基本性质，将分式（分数）的分母（子）化成有理式，叫做分母（子）有理化。
常见类型一：
常见类型二：
其中，我们称是的“有理化因子”， 是的“有理化因子”，分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”。
四、典型例题
例1：求使下列式子有意义的字母的取值范围
（1） （2） （3） （4）
例2：将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
例3：将下列各式分母有理化：
（1） （2） （3）
例4：试比较下列各组数的大小：
（1）比较与的大小（2）和
分析：（1）∵，
，
（2）
例5计算：
（1） （2）
（3）
（4）
例6、化简下列各式
（1）
（2）
例7、设
分析：∵，
，
五、课堂练习
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
2．选择题：
等式成立的条件是 （　　 ）
（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）
3．若，求的值．
4．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．

提示：
1． （1）　　（2）　　（3）　　（4）．
2．C 3．1 4．＞

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