安庆模数学参考答案数学(理)模考试详细答案.doc

2013年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
D
B
D
A
B
C
D
B
C
1．解析：，故选B。
考点：复数的基本运算
2．解析：∵，

∴，故选D。
考点：集合的含义与运算。
3．解析：，∴，故选B。
考点：等差数的通项与求和。
4．解析：∵，∴，∴，
故选D。
考点：向量的运算与双曲线的性质。
5．解析：由题意得：
则，可得的最小正值为，故选A。
6. 解析：∵若、、 三点共线，
∴即，故选B。
考点：向量共线的充要条件与轨迹
7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥，
如右图所示。则外接球球心为AD的中点，故，
∴外接球的体积是。故选C。
考点：三视图与几何体体积的计算。
8．解析：∵方程的两根分别在区间和上，
∴，由线性规划知识得：的最小值为4。故选D。
考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。
9．解析：将极坐标方程和化为直角坐标系下的方程得：
和，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为，
故选B
10．解析：设在区间上的三个零点为、、，
则，
∴

∵、、为三个零点，∴、、互不相等，∴上式“=”不成立。
∴，故选C.
二、填空题
11．-16； 12．4； 13．6.2； 14． （1，2）； 15．②③
11．解析:由
∴
考点:二项式定理.
12．解析:由框图知,由得:k=4.
考点: 程序框图
13．解析: ∵ 回归直线方程为,,∴样本中心点为(3,5)
又由于除去和这两个数据点后，的值没有改变，所以中心点也没有改变,设新的回归直线为,将样本中心点(3,5)代入解得:,
当时，的估计值为6.2.
14．解析: 设，得
当时，得在区间[2,3]上是减函数且.
所以在区间[2,3]上也是减函数，那么且，此种情况无解.
当时，得在区间[2,3]上是增函数且.
所以在区间[2,3]上也是增函数，那么且，解得.
所以实数的取值范围是（1，2）.
15．解析: ①设P点的坐标为,则：
A
，∴①错误;
②，
（∵在圆外）∴②正确
③易知当点P在长轴的顶点上时,最小，且为锐角,
∴设的外接圆半径为,由正弦定理得:
，
∴，∴的外接圆半径的最大值为，∴③正确。
④∵直线的方程为:……(1)
直线的方程为: ……(2)
(1)(2)得，
但因P点不与B1、B2点重合，∴点M的轨迹为此双曲线的一部分。
∴④不正确。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 解：

………4分
（Ⅰ） ………5分
∵，∴ ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，取得最大值，
∴ ， 或（舍去）
由正弦定理知： ………9分
又 ………11分
A
O
D
B
C
∴ ……………12分
17. （1）证明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点
、为等腰直角三角形
…………2分
A
C
H
B
D
O
H为AO的中点

………… 4分
又,∩平面ABCO,而平面
平面平面ABCO ………… 6分
A
C
H
B
D
O
y
x
z
（2）解：分别以直线、为轴和轴，为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.则、、、
.………… 8分
设平面的一个法向量，
，
类似可求得平面的一个法向量
………… 10分

所以二面角O—DB—H的余弦值为 ………… 12分
18．解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率……3分
（Ⅱ）由题意可知，可取的值是……4分

的分布列为

3
4
5

P

……10分
所以的数学期望为 ……12分
19．解：（1）由
（，∴为等差数列 ……3分
∵，
又∵为正项数列，∴ ……5分
∴ ……6分
（2） ……9分
∴
即。 ……12分
注：第（2）小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明，请酌情给分。
20．证明：（1）设,,
由，
∴ ……3分
∵AB的方程为：
∵，∴AB的方程为，
∴直线AB恒过定点（0，1） ……6分
（2）不妨设
则AB与抛物线围成的封闭区域的面积 ……8分

……10分
∵，
∴
∴，“=”当且仅当时成立。
∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为。 ……13分
另解：设,,AB的方程为：
联立消去y得：
∴， ……3分
由
∴，∴直线AB恒过定点Q（0，1）。……6分
（2）由（1）知AB的方程为：
不妨设，则AB与抛物线围成的封闭区域的面积……8分

……11分
，“=”当且仅当时成立。
∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为. ……13分
21．证明：（1）∵
∴ ……2分
∵，∴
∴在上为增函数，∴，
∴当时，恒成立. ……4分
（2）
……6分
∵，记，则
设，
∵正数，满足：，∴
由（1）知：在上恒成立。
∴……9分
另证：
∵
设 ……6分
求导得：
∵，∴，∴在上为增函数，
∴
∴ ……9分
（3）结论：“对于任意的正数，，满足：，
都有”。 ……11分
证明如下：∵
由于，，利用（2）的结论可得：

。
∴成立。 ……14分
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