高三理科数学072.doc

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期数 0601 SXG3 072
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇五十五 高三理科数学总复习三十二
——不等式的证明

【考试大纲的要求】
掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式
【基础知识概要】
不等式的证明常用的方法
1． 比较法
（1） 作差法：作差变形判断符号.
（2） 作商法：商变形判断商与1的大小关系.
2．综合法：综合法是指从已证得的不等式或已知条件出发，借助于不等式的性质或有关定理，经过推理，最后证得结论. 其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
3．分析法：分析法是指从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定这些条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”. 分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁. 因而证不等式时，常用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证题过程.
4．反证法：用反证法证明不等式，常从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立. 但要注意对结论的反面要一一否定，不能遗漏，方能得出原不等式成立.
5．放缩法：由于证明不等式的需要，有时舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法称为放缩法. 运用放缩法时要注意放缩必须适度，放得过大或过小都不能达到证题的目的.
放缩时使用的主要方法有：（1）舍去或加上一些项，如＞;（2）将分子或分母放大（或缩小），如＜，＞等等.
6．换元法：换元法的应用非常广泛，在不等式证明中，三角代换法和增量法是常用的代换方法. 问题中若已知x2 + y2 = a2(a0), 则可设；若已知，可设（）; 若已知，则可设等. 关于对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a＞b＞c）的不等式，则常用增量法进行换元，称之为“设差换元”，通过换元达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简.
7．函数的单调性：通过构造一个反映问题本质特征的函数，视所证不等式中的字母为函数的自变量，此外，这个函数必须在定义域内是单调函数，从而利用单调性来证明不等式.
另外，有些具有几何特征的代数式，经常借用于构造相关几何图形，然后利用图形的几何特征去证明不等式.
【典型例题解析】
例1设函数，方程的二根满足．
证明：当时， ．
证明：由题设条件可设，
当时，，即．
，
∵，∴，∴
即，综上有．
例2已知函数.若
证明
证明：

又，
即.
同理，
于是得.
例3 设a、b、c为不全相等的正数，试证：
3.
证明：左边=.
∵ a、b、c为不全相等的正数，
∴2，2，2中的等号不可能同时成立，
∴6，
∴6－3=3.
评析：基本不等式和不等式的基本性质是用综合法证明不等式的基础，常用的基本不等式有：a20(a∈R), a2+b22ab(a,b∈R), 2(a, b同号)，等.
例4 是否存在常数，使得不等式对于任意正数恒成立？试证明你的结论．
分析：要探索C的值，所以不妨先确定的值，在设法证明．
解：令，得，所以，下面给出证明．
先证明：．
因为，要证明，
只需证，
即证，这显然成立，∴．
再证明：．
要证明，只需证，
即证，这显然成立，∴．
例5设，
（1）求证：
（2）求证：|f(1) |, |f(2)|, |f(3)|中至少一个不小于.
证明：（1）
（2）假设|f(1) |, |f(2)|, |f(3)|都小于，则有
而，与上式矛盾
∴ |f(1) |, |f(2)|, |f(3)|中至少一个不小于.
例6 求证: ＜2.
证明: ∵＜,(k≥2)
∴＜＜2.
例7 已知, 求证：.
分析：∵, 考虑到不等式左边有1+x与1－x，故可考虑到利用二倍角余弦公式化简，从而采用三角换元法证之.
证明：∵, 设(),
则 ，
∴，
故原不等式成立.
例8已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
证明
分析：由于，可变形为，再采用叠加法进行证明
证明：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
评析：本题主要考查数列与不等式的综合应用，其中涉及到信息的处理能力，这高考的热点，同时在解决含有自然数n的不等式或等式的问题中，一般情况也可以用数学归纳法进行解答。
例9已知，求证
证明：令 ∴
原不等式 令 ∴
∴ ∴
∴ 令 ∴
∴
∴ ∴ ∴
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．设，则（ ）
A.PQ B.PQ
C.P＞Q D.P＜Q
2．设a、b∈R ,下列不等式中正确的是（ ）
A.a2+4ab＞b2 B.ab－a＞b－ab
C.a2+b22(a－b－1) D.＜
3．下列不等式中，对任意x∈R都不成立的不等式是（ ）
A. lg2x B.x2+12x
C. x2+1＜1 D.x2+44x
二、填空题
4．若a＜c＜b, 则c2+ab______(a+b)c(用不等号连接)
5．已知ab+cd＞ad+bc，则实数a、b、c、d应满足的条件是_______.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．若a、b∈R，且＞，则（ ）
A.a2＞b2 B. a＞b, a+b≠0
C. a＞b＞0 D. a＞b, ab≠0
2．已知a、b、c、d都是正数，且＜，则（ ）
A. ＜＜ B. ＜＜
C. ＜＜ D. 以上均有可能
3．若a、b∈R, c∈Q, 则使＞成立的充分条件是（ ）
A.a＞b＞0, c＜0 B. a＞b, a＞0, c＜0
C. b＞a＞0, c＜0 D. b＞a＞0, c＞0
二、填空题
4．若a＞0，且a≠1，则(用不等号连接)
5．若b＜0, 0＜|a|＜|b|＜|c|, 且，则在a、b、c中最大者为______, 最小者为________.
三、解答题
6．已知a＞b＞c＞0, 求证：＞.
7．设a，b∈R+，求证：.
8．已知x，y∈R+，且x+ y =1，求证：9.
9．已知，求证与中至少有一个小于2．
10．设a、b、c、d∈R+，，求证：1＜S＜2.
11．求证：
参考答案
同步落实[※级]
一、1.A 2.C 3.C
二、4．＜ 5．或
同步检测[※※级]
一、1.B 2.A 3.C
二、4. ＞ 5. a, c
三、6．证明：，
∵＞1，＞0， ∴＞1，
同理 ＞1，＞1，∴＞1.
7．证明：≥≥.
8．证明：

≥.
9．证明：假设，，则有
∴，这与相矛盾，故假设不成立
∴与中至少有一个小于2．
10．证明：∵a、b、c、d∈R+，
∴S＜，
S＞，
即1＜S＜2.
11．证明：令 ，且
∴，∴ 为上为增函数
∴ 有 恒成立，∴
再令 且

∴ 在上为增函数 ∴ 恒成立