1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数 0601 SXG3 072学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟 审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇五十五 高三理科数学总复习三十二 不等式的证明【考试大纲的要求】掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式【基础知识概要】不等式的证明常用的方法1 比较法（1） 作差法：作差变形判断符号.（2） 作商法：商变形判断商与1的大小关系.2综合法：综合法是指从已证得的不等式或已知条件出发，借助于不等式的性质或有关定理，经过推理，最后证得结论. 其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.3分析法：分析法是指
2、从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定这些条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”. 分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁. 因而证不等式时，常用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证题过程.4反证法：用反证法证明不等式，常从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立. 但要注意对结论的反面要一一否定，不能遗漏，方能得出原不等式成立.5放缩法：由于证明不等式的需要，有时舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性，达到
3、证题的目的，这种方法称为放缩法. 运用放缩法时要注意放缩必须适度，放得过大或过小都不能达到证题的目的.放缩时使用的主要方法有：（1）舍去或加上一些项，如;（2）将分子或分母放大（或缩小），如，等等.6换元法：换元法的应用非常广泛，在不等式证明中，三角代换法和增量法是常用的代换方法. 问题中若已知x2 + y2 = a2(a0), 则可设；若已知，可设（）; 若已知，则可设等. 关于对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如abc）的不等式，则常用增量法进行换元，称之为“设差换元”，通过换元达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简.7函数的单调性：通过构造一个反映问题本质特征的函数
4、，视所证不等式中的字母为函数的自变量，此外，这个函数必须在定义域内是单调函数，从而利用单调性来证明不等式.另外，有些具有几何特征的代数式，经常借用于构造相关几何图形，然后利用图形的几何特征去证明不等式.【典型例题解析】例1设函数，方程的二根满足证明：当时， 证明：由题设条件可设，当时，即，即，综上有例2已知函数.若证明证明：又，即.同理，于是得.例3 设a、b、c为不全相等的正数，试证：3.证明：左边=. a、b、c为不全相等的正数，2，2，2中的等号不可能同时成立，6，63=3.评析：基本不等式和不等式的基本性质是用综合法证明不等式的基础，常用的基本不等式有：a20(aR), a2+b22a
5、b(a,bR), 2(a, b同号)，等.例4 是否存在常数，使得不等式对于任意正数恒成立？试证明你的结论分析：要探索C的值，所以不妨先确定的值，在设法证明解：令，得，所以，下面给出证明先证明：因为，要证明，只需证，即证，这显然成立，再证明： 要证明，只需证，即证，这显然成立，例5设，（1）求证：（2）求证：|f(1) |, |f(2)|, |f(3)|中至少一个不小于.证明：（1）（2）假设|f(1) |, |f(2)|, |f(3)|都小于，则有 而，与上式矛盾 |f(1) |, |f(2)|, |f(3)|中至少一个不小于.例6 求证: 2.证明: ,(k2)2.例7 已知, 求证：.分
6、析：, 考虑到不等式左边有1+x与1x，故可考虑到利用二倍角余弦公式化简，从而采用三角换元法证之.证明：, 设(),则 ，故原不等式成立.例8已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 证明 分析：由于，可变形为，再采用叠加法进行证明证明：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，评析：本题主要考查数列与不等式的综合应用，其中涉及到信息的处理能力，这高考的热点，同时在解决含有自然数n的不等式或等式的问题中，一般情况也可以用数学归纳法进行解答。例9已知，求证证明：令 原不等式 令 令 【强化训练】同步落实级一、选择题1设，则（ ）A.PQ
7、B.PQC.PQ D.PQ2设a、bR ,下列不等式中正确的是（ ）A.a2+4abb2 B.abababC.a2+b22(ab1) D.3下列不等式中，对任意xR都不成立的不等式是（ ）A. lg2x B.x2+12xC. x2+11 D.x2+44x二、填空题4若acb, 则c2+ab_(a+b)c(用不等号连接)5已知ab+cdad+bc，则实数a、b、c、d应满足的条件是_.同步检测级一、选择题1若a、bR，且，则（ ）A.a2b2 B. ab, a+b0C. ab0 D. ab, ab02已知a、b、c、d都是正数，且，则（ ）A. B. C. D. 以上均有可能3若a、bR, cQ
8、, 则使成立的充分条件是（ ）A.ab0, c0 B. ab, a0, c0C. ba0, c0 D. ba0, c0二、填空题4若a0，且a1，则(用不等号连接)5若b0, 0|a|b|c|, 且，则在a、b、c中最大者为_, 最小者为_.三、解答题6已知abc0, 求证：.7设a，bR+，求证：.8已知x，yR+，且x+ y =1，求证：9.9已知，求证与中至少有一个小于210设a、b、c、dR+，求证：1S2.11求证： 参考答案同步落实级一、1.A 2.C 3.C二、4 5或同步检测级一、1.B 2.A 3.C二、4. 5. a, c 三、6证明：，1，0， 1，同理 1，1，1.7证明：.8证明：.9证明：假设，则有 ，这与相矛盾，故假设不成立 与中至少有一个小于210证明：a、b、c、dR+，S，S，即1S2.11证明：令 ，且 ， 为上为增函数 有 恒成立， 再令 且 在上为增函数 恒成立
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