高三文科数学020.doc

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期数： 0510 SXG3 020
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇十六 高三文科数学总复习十一
——反函数
【学法引导】
反函数是高考考查的重要内容之一，主要考察求所给函数的反函数，利用“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=的图象关于直线y=x对称”解决有关问题，与函数的单调性、奇偶性综合在一起解题.
【基础知识概要】
一、反函数的概念
一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=(y). 如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=就表示x是自变量y的函数，这样的函数x=叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=，即
x==.
从反函数的概念可知，如果函数y = f(x)有反函数，那么函数y = f(x)也是其反函数的反函数，即它们互为反函数.
从映射的概念可知，函数y=f(x)是定义域集合A到值域集合C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射.
函数y=f(x)的定义域，正好是它的反函数y=的值域；函数y=f(x)的值域，正好是它的反函数y=的定义域.
二、互为反函数的函数图象之间的关系
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=的图象关于直线y=x对称.

【应用举例】
例1若函数y=f(x)的反函数是y=，，则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
解：由，得
∵函数y=f(x)的反函数是y=，
∴，∴，故选(A).
例2 求函数的反函数.
解：由，得，
又∵，∴
由得，.
所求的反函数为
例3 求函数的反函数.
解：（1）时，由，得 当，即时，
（2）时，由，得
∵，∴，得
由（1），（2）可知，所求的反函数为
例4 若函数的反函数是它本身，试确定a，b的关系.
解：∵，∴∴，∴，
∴反函数为，它与原函数是同一函数，
故，这就是a，b应满足的关系.

【强化训练】
同步落实
一、选择题
1．函数的反函数是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．在下列区间中，使不存在反函数的区间是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
3．已知函数的反函数是它自身，= ；
4．已知函数，则 ；

同步检测
一、选择题
1．函数的反函数的定义域是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．已知点在函数的图象上，则下列各点中必在其反函数的图象上的点是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
3．函数的值域为 .
4．已知，则= .
三、解答题
5．已知函数有反函数，且点既在的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值.
6．已知是R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）求的反函数；
（3）对任意给定的正数，解关于x的不等式.

参考答案
同步落实
一、1．C 2．B
二、3．0 4．
同步检测
一、1．D 2．D
二、3． 4．
三、5．解：若点在的反函数的图象上，则点在的图象上，即有
解得
6．解：（1）∵是R上的奇函数，
∴，∴.
（2）当时，，设，则，
∴，，
∴，∴.
又，∴，∴=
（3）由得 ，
∴，而，∴且，
∴当时，得，此时原不等式的解集为；
当时，得，此时原不等式的解集为.