高三文科数学037.doc

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期数： 0512 SXG3 037
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇二十九 高三文科数学总复习二十四
——三角函数的综合应用
【学法引导】
近几年来，关于三角函数的综合应用知识，高考主要考查三角函数与复合函数、等差数列、等比数列、数列求和、数列极限、三角形、参数方程等知识的联系，逐步增加与平面向量、导数基本公式的交汇.题型为难度不大的选择题、填空题或解答题中的一个基础题，不会考查繁难的三角计算.
【应用举例】
例1 设，求的最小值.
分析：这是二元函数的最值问题，要设法将二元转化为一元，所以需用三角代换，将二元化为一元.
解：设，
则，
所以，当时，.
【点拔解疑】
利用三角代换，把代数问题转化为三角问题来处理，使问题易于解决，但要注意寻求转化（代换）的条件.
例2 设.
①求f(x)的定义域；
②指出f(x)的单调区间；
③如果f(x)是周期函数，求出其最小正周期.
分析：考虑函数，这样可通过讨论g(x)的性质来解决f(x)的性质.
解：原函数可化为，设，
①由得其定义域为，
这时，∴值域为.
②∵f(x)与g(x)的单调性相反，
所以f(x)的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间；
f(x)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间.
③由g(x)是周期函数，，所以f(x)也是周期函数，.
【点拔解疑】
这是由对数函数和三角函数复合而成的复合函数，要从分析g(x)的性质入手，解决f(x)的有关问题.
例3 若P、Q分别是圆和椭圆上两个动点，求|PQ|的最大值.
分析：设圆心为A(0,2)，则当|PQ|最大时，|AQ|也最大，于是就把求|PQ|的最大值转化为求|AQ|的最大值.
解：设，圆心设为A(0,2)，
则
∴当时，，∴，
则.
说明：三角函数在解析几何中有一定的应用，主要是设角为参数，例如圆、椭圆的参数方程的参数为角.
例4 海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁，军舰由西向东航行，望见小岛在北偏东
75°，航行8海里后，望见小岛在北偏东60°.如果军舰不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？

分析：如上图，设航线为AE，考察BD＞3.8成立与否即可.
解：设AE为航线，B是小岛，作BD⊥AE于D，
∵∠DBA=∠BAN=75°，∠DBC=∠BC=60°，
∴，
∴，
∴，
因为BD大于3.8海里，所以军舰不改变方向，继续前进，没有触礁危险.
【强化训练】
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，已知两点，，则|AB|的值是（ ）（2002年北京高考题）
A． B． C． D．1
2．函数的大致图象是（ ）

3．若角满足条件，则在（ ）（2002年全国春季高考题）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．函数Z）的值域是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．已知 若，则可化为________.
6．和cos为方程的两根，则________.
7．函数的单调递增区间为________.
8．函数的最大值是________，
最小值是_________.
9．在一张半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯、桌子边缘一点处的照度Ⅰ和灯光射到桌上边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ⅰ=，其中k是一个和灯光强度的有关的常数，那么电灯悬挂的高度h能使桌子边缘处最亮时，h=_______.
10．已知，则=_______.
三、解答题
11．已知：，求的最大值.
12．已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，成立，求△ABC的面积S的最大值.
参考答案
一、1．D 2．C 3．B 4．D
二、5． 6．
7． (k∈Z) 8．
9． 10．
三、11．解：令，
∴当sinx=－1时，.
12．解：由正弦定理，得，
∴，∴，即C=45°，
又，，
∴，
∴，∴.