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第十八章 勾股定理
科目
数学
主备人
年级
八
时间
课题
第十八章 勾股定理
§18.1勾股定理（一）
课时
一课时
教学目标
1、 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.
2、 通过观察、 归纳、 猜想和验证勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法和数形结合的思想
3．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情.
4．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育
教材分析
教学重点：探索和证明勾股定理.
教学难点：用拼图的方法证明勾股定理.
教法提示
启发式教学
教学过程设计(含作业安排)
一、引入
相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？
(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；
(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.
结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
3）、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书P65探究）
4）、计算机演示
(1) 如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，改变a、b、c的长度，但始终保持∠ACB=90°， 在运动过程中，测算，，，的值. 取其中几组测算值，让学生观察这几个数值之间的关系？
提问：哪些量是不变的？（∠ACB=90°）
哪些关系是不变的？（）
二、新课
让学生叙述猜想、画图
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种. 下面，我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的
提问：拼接后的图形是否是由原4个直角三角形和小正方形没有重叠、没有空隙地拼成的？拼接后的图形是什么图形？
由此得到：
小结：这种证法是面积证法．图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不会改变
下面介绍另一种拼图的证法：（选讲）
做八个全等的直角三角形和分别以a、b、c为边长的三个正方形. 拼成如下两个图形：
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
利用这两个图形证明：
勾股定理：(P65)
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
几何语言：∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴（勾股定理）
例：求出下列直角三角形中未知边的长度（课件）
例：如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？
5米
B
A
C
12米
练习：
三、课堂小结。
四、作业：习题18.1的第1—3题
教学后记：
科目
数学
主备人
年级
八
时间
课题
第十八章 勾股定理
§18.1勾股定理（二）
课时
一课时
教学目标
1、利用勾股定理解决实际问题.
2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想.
3、运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题
4、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
5、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值
教材分析
教学重点：勾股定理的应用．
教学难点：勾股定理在实际生活中的应用
教法提示
启发式教学
教学过程设计(含作业安排)
一、复习提问
1、勾股定理？应用条件？
练习1、在直角三角形中，三边长分别为a 、 b 、 c,其中c为斜边
1）. (1)a=3, b=4, 则c=
(2)a=5, b=12, 则c=
2）. (1)a=6, c=10, 则b=
(2)b=20, c=25, 则a=
3）. a：b＝3：4，c＝10,则a= ,b=
2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和
二、新课
例1、一个门框的尺寸如图所示：
若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？
分析：(3) 木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过．
木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过．
因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过．
所以将实际问题转化为数学问题．
解：(3) ∵在Rt△ABC中，∠B=90°
∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理)
∴AC==≈2.236
∵AC≈2.236>2.2
∴木板能从门框内通过（书上P67填空）
小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长.
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB
解：∵在Rt△ABO中，∠AOB=90°
∴OB2=AB2-AO2 (勾股定理)
∴OB===≈1.658
∵OC=AO-AC
∴OC= 2.5-0.5=2
∵在Rt△COD中，∠COD=90°
∴OD2=CD2-CO2 (勾股定理)
∴OD===≈2.236
∴BD=OD -OB≈2.236 -1.658≈0.58
答：梯的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B外移约0.58米．
归纳与小结
(1)将实际问题转化为数学问题, 建立数学模型
(2)运用勾股定理解决生活中的一 些实际问题.
三、课堂练习
书上练习。（课件）
3、4.一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管 露出杯口外. (填“能”或“不能”)
四、课堂小结
1、勾股定理的作用——它把直角三角形的图形特征转化为边的数量关系.
2、会用勾股定理进行有关计算和证明，要注意利用方程的思想求有关三角形的边长.
3、会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题.
五、作业
1、书P70~71 / 7（不取近似值）、9、10（解释），P80 / 3，P81 / 7
教学后记：
科目
数学
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八
时间
课题
第十八章 勾股定理
§18.1勾股定理（ 三）
课时
一课时
教学目标
1、会在数轴上表示（n为正整数）.
2、利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思想
3、运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
4、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
5、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值
教材分析
教学重点：勾股定理的应用
教学难点：利用勾股定理建立方程.
教法提示
启发式教学
教学过程设计(含作业安排)
一、复习提问
1、勾股定理？
2、解决有关直角三角形问题常用方程思想.
二、新课
例1、（书P68）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：(1)若能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点.
(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为．因此在数轴上能表示的点．那么长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
解：∵在Rt△ABC中，∠OAB=90°，OA=3，AB=2
∴OB==
∴在数轴上取点A，使OA=3，过点A作AB⊥OA于A，
使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示的点.
思考：怎样在数轴上画出表示（n为正整数）的点？
利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而可以在数轴上画出表示 （n为正整数）的点.（P69）
结论：利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而在数轴上可画出表示
（n是正整数）的点.
练习：书P69练习1，（再练，等）
例2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°, ∠B=∠D=90°. 求四边形ABCD的面积.
小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
例3、已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
小结：当两个直角三角形有公共边时，可以利用公共边作桥梁，建立方程，这种方法称为双勾股.
三、课堂练习
已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC’与AD交于点E，
AD=6，AB=4，求DE的长.
四、课堂小结
1、在数轴上画出表示（n为正整数）的点的方法.
2、利用辅助线构造Rt△.
3、利用直角三角形的公共边构造方程，简称“双勾股”
.五、作业
1、书P70 / 6
教学后记：
科目
数学
主备人
年级
八
时间
课题
第十八章 勾股定理
§18.1勾股逆定理（一）
课时
一课时
教学目标
1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理.
2、掌握利用勾股定理的逆定理，并能利用其判定一个三角形是否是直角三角形
3、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理和逆定理之间的和谐与辩证统一的关系.
4、在探究勾股定理逆定理的活动中，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神
教材分析
教学重点：勾股定理的逆定理及其实际应用
教学难点：勾股定理逆定理的证明
教法提示
启发式教学
教学过程设计(含作业安排)
一、 引入
（1）古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
（2）动手画一画
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
5，12，13； 7，24，25； 8，15，17
（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
二、新课
命题2：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且
求证：∠C=90°
思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，利用对应角相等来证明．
证明：作Rt△A’B’C’，使∠C’=90°，B’C’=a，C’A’=b
∴（勾股定理）
∵ ∴
∵A’B’>0，c>0
∴A’B’=c
在△ABC和△A’B’C’中，
AB= A’B’=c，CA=C’A’=b，BC=B’C’=a
∴△ABC≌△A’B’C ’ (SSS)
∴∠C =∠C’=90°
命题成立，因此得到勾股定理的逆定理
1、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：∵在△ABC中，，
∴∠C=90°（勾股定理的逆定理）
强调：(1)勾股定理是由形得数，勾股定理的逆定理是由数得形.
(2)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它们是互为逆定理．
2、互逆命题（P73）
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
3、互逆定理（P74）
如果两个互逆的命题都被证明是正确的，并把这两个命题确定为了定理，那么我们把这两个定理称为互逆定理.
注：(1)每一个命题都有逆命题.
(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.
(3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
练习：下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15
(3) a=1 b=2 c= (4) a:b: c=3:4:5
4、勾股数（P75）
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
三、课堂练习
四、课堂小结
五、作业、76页，习题18.2第1、2、3、4题
教学后记：
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时间
课题
第十八章 勾股定理
§18.2勾股逆定理（二）
课时
一课时
教学目标
1、 勾股定理的逆定理的实际应用
2、 通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合
3、 在探究活动过程中，经历知识的发生、发展与形成的过程. 培养敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神，增强学好数学、用好数学的信心和勇气.
教材分析
教学重点：勾股定理的逆定理及其实际应用.
教学难点：勾股定理逆定理的灵活应用
教法提示
启发式教学
教学过程设计(含作业安排)
一、复习提问
1、勾股定理的逆定理？
2、已知三角形三边长，如何判断三角形是否是直角三角形？
3、勾股数？
4、互逆命题？
练习
二、新课
例1、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：“远航”号航行方向已知，只要求出“海天”号与它的航向的夹角就可以知道“海天”号的航行方向.
解：根据题意画出示意图：
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵在△RPQ中，
，
∴
∴∠QPR=90°（勾股定理的逆定理）
∵∠1=45°
∴∠2=45°
即“海天”号沿西北方向航行
注意：若此题没有“某港口位于东西方向的海岸线上”这个条件，则应有两解. 即“西北方向”和“东南方向”.注意对方向的分类讨论.
练习:P76练习第3题、习题第3题
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？（图见课件）
练习：已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积? （图见课件）
练习、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，
BC=12m。求这块地的面积。（图见课件）
例3、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明（图见课件）
三、课堂小结
1、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，
是使用代数方法研究几何问题的又一体现．
2、直角三角形常常作为隐含条件，需要把它用勾股逆定理挖掘出来.
勾股定理与逆定理常常综合应用.
3、注意对方位的分类讨论.
四、作业
教学后记：
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