圆锥曲线定值问题.doc

(南通市2013届高三第一次调研测试数学I第19题)已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．
所以，2a==，b2=a2－c2=2，
故所求的椭圆的标准方程为．
(2)设A(，)，B(，)，则①，②．
②－①，得 ．
所以，k1=．
(3)依题设，k1≠k2．
设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，
代入椭圆方程并化简得 ．
于是，，．
同理，，．
当k1k2≠0时，
直线MN的斜率k==．
直线MN的方程为，
即 ，
亦即 ．
此时直线过定点．
当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．
综上，直线MN恒过定点，且坐标为．

（常州市2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题第18题）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

18．解：（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.

（2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）第11题）已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
（1）当且时，求△的面积的最小值；
（2）若（为常数），证明：直线过定点．
解 所在直线的方程为，其中，代入中，得
，
设，则有，从而
．
则．
所在直线的方程为，其中，同理可得．
（1）当时，，，，，．
又，故，于是△的面积

，
当且仅当时等号成立．
所以，△的面积的最小值为.
（2），
所在直线的方程为，
即．
又，即，代入上式，得，
即 ．
当时，有，即为方程的一组解，
所以直线恒过定点．