圆锥曲线定值问题.doc

(南通市2013届高三第一次调研测试数学I第19题)已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 (2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= (3)依题设，k1k2设M(,)，直线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是， 同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=直线MN的方程为，即 ，亦即 此时直线过定点 当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上，直线MN恒过定点，且坐标为 （常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题第18题）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率； （2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18解：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，从而，左焦点，椭圆E的方程为.设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、共线，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.（2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）第11题）已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点解 所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而则所在直线的方程为，其中，同理可得（1）当时，又，故，于是的面积，当且仅当时等号成立所以，的面积的最小值为. （2），所在直线的方程为，即 又，即，代入上式，得，即 当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点