圆锥曲线的最大值、定问题.doc

圆锥曲线最值、定值、范围
一、圆锥曲线的最值问题
方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
例1、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

方法2：数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：
①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．
例2、求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．

方法3：参数法（函数法）
① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值
例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．

方法4：基本不等式法
①将最值用变量表示． ②利用基本不等式求得表达式的最值．
例4、求椭圆＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．
二、圆锥曲线的范围问题
方法1：曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
例1、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中的取值范围是________．

方法2：判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零
① 联立曲线方程，消元后求判别式；
②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．
例2、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．

三、圆锥曲线的定值、定点问题
方法1：特殊到一般法
根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题
① 根据特殊情况确定出定值或定点；
②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
例1、已知双曲线C：x2－＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．

方法2：引进参数法
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).
① 引进参数表示变化量；
②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点
例2、如图所示，曲线C1：＋＝1，曲线C2：y2＝4x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若G为CD的中点、H为BE的中点，证明为定值．

课堂知识运用训练
1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的距离之和的最小值为(　　)．
A. B. C. D.

2．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的范围为(　　)．
A.＜＜ B．0＜＜ C.＜＜ D.＜＜

3．设F是椭圆＋＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．

4．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为________．

5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．

6．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在轴上所截得的弦．
(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．

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圆锥曲线最值、定值、范围