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圆锥曲线中的最值与定值问题

圆锥曲线中的最值问题
【考点透视】
圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：
当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。
【题型分析】
1.已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值
分析：设P（,），,点P到直线AB：x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）
2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为： （x>0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|>1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2
综上可知的最小值为2
3定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
[解析] 设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得　
由得即

，
将代入得
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
4.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值

分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，∴，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。
（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则∴，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P"位置时，，有最大值，最大值为；当P到位置时，，有最小值，最小值为.
（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）
5.已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，
此时

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

6.已知△的面积为， （1）设，求正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设

（2）设所求的双曲线方程为
∴，∴
又∵，∴

当且仅当时，最小，此时的坐标是或
，所求方程为
（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力）
7.如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求△的面积的最大值，并求出此时直线的方程。
分析：，设，，则
设直线的方程为代入椭圆方程得
即
令，∴，（）利用均值不等式不能区取“＝”
∴利用（）的单调性易得在时取最小值
在即时取最大值为，此时直线的方程为
（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）
（从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）
8．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
【专家解答】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.
①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组
②
的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，
所以
于是
设点P的坐标为(x,y), 则
消去参数k得4x2+y2-y=0 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以
④ ⑤
④—⑤得，
所以
当时，有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
（2）由点P的轨迹方程知所以

故当，取得最小值，最小值为
当时，取得最大值，最大值为
9.椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.
（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =
∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，
①

②
∴ 即
由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：
③

④

⑤

而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB =
（2）因S△OAB=,
当且仅当S△OAB取得最大值
此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1 ∴x1=1,x2 =－2
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5
10.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，
，和，是“果圆” 与，轴
的交点，是线段的中点．
（1） 若是边长为1的等边三角形，
（2） 求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，于是，
y
O

.
.
.
M

x
.
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
11. P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得

设P、Q两点的坐标分别为，则：

从而
①当时，MN的斜率为，同上可推得

故四边形面积
令，得
因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。
②当时，MN为椭圆长轴，

综合①②知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。
12. 已知抛物线，过M（a，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。
解：（1）直线的方程为：，将代入抛物线方程，设得
设直线与抛物线两交点的坐标分别为，则
，并且

又
所以 解得：
（2）令AB中点为Q，

即△NAB的面积的最大值为。

圆锥曲线中的定值问题
【热点透析】
圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．
解答此类问题的基本策略有以下两种：
1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．
2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．

【题型分析】
1.过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）．
A． B． C． D．
解法1：（特殊值法）
令直线与轴垂直，则有：，所以有
解法2：（参数法）
如图1，设，且，分别垂直于准线于．
，

图1
抛物线（＞0）的焦点，准线．[来源:Zxxk.Com]

∴ ：
又由，消去得

∴，
∴
∴．
【难点突破】
2.若AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与坐标轴不平行,,分别表示直线AM,BM的斜率,则=(   )
A.         B.         C.                D.
【答案】B
【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB为椭圆的短轴．M为椭圆的右顶点，则A(0，b)，B(0，－b)，M(a，0)．所以．故选B．
3.已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有
A.+=4                               B.+=2
C.e12+e22=4                                  D.e12+e22=2
【答案】B  设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,

∴∴|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.
∵PF1与PF2垂直,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
∴(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,∴2a12+2a22=4c2.∴+=2.
4.已知定圆O1、O2的半径分别为r1、r2,圆心距|O1O2|=2,动圆C与圆O1、O2都相切,圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为e1、e2,则的值为
A.r1+r2                                       B.r1和r2中的较大者
C.r1和r2中的较小者                           D.|r1-r2|

【答案】B  若动圆与⊙O1，⊙O2外切或内切，则2a=|r1-r2|,2c=2,当r1＞r2时，==;当r1＜r2,则=.
若动圆与⊙O1和⊙O2内切与外切，则2a=r1+r2,2c=2,∴==.
∴r1＞r2时，=+=+=r1;
r2＞r1时，=+=+=r2,故选B.
5.如图2所示，F为双曲线C:=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是

图2
A.9                   B.16                   C.18                   D.27
【答案】C  取双曲线右焦点记为F2,

∵P3与P4关于y轴对称,∴|P4F|=|P3F2|.∴|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.
同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.
6．双曲线-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则·等于
A.0                                             B.-1
C.1                                             D.与PQ的位置及a的值有关
【答案】答案：C
解析:由题意知2=c得c2=2a2,又c2=a2+b2=a2+1,∴a2=1.
∴双曲线为x2-y2=1.设P(x0,y0),则Q(x0,-y0).
故=(x0,y0),=(x0,-y0),·=x02-y02=1.
7．过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p＞0)于P、Q两点,则+的值为
A.              B.              C.              D.
【答案】答案:D
【解析】不妨取PQ⊥x轴,则P(p,p),Q(p,-p),∴|MP|=p,|MQ|=p.
∴+=
8．椭圆C1：+=1(a＞b＞0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则-等于(    )
A.-1                   B.1                  C.-               D.
【答案】答案：B
【解析】因为C为抛线上的点，所以P到其焦点F2的距离|PF2|与其到准线l的距离d相等，因为P也是椭圆上的点，P到其准线l的距离也是d，由椭圆第二定义，得①
再由椭圆第一定义，得|PF1|+|PF2|=2a②，
由①②两式解得|PF1=|，
故=1.
9．双曲线C:-=1(a＞b＞0)中，F1、F2是它的焦点，设抛物线l的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，l的准线与C的左准线重合，P是C与l的一个交点，那么=______________.
【答案】【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由抛物线定义有|PF2|=|PN|(N为点P在左准线上的射影),
    又=e,=e=,                          ①
    又|PF1|-|PF2|=2a，
    即m-n=2a.                                              ②
    由①②得m=.
∴原式=-=e-2c·=1.
答案：1

10．设抛物线的顶点为O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上任一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，若|PQ|2=λ|BC|·|OQ|，则λ的值为
A.                  B.1                      C.2                 D.3
【答案】答案：B  设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，则BC为抛物线的通径，故|BC|=2p；设P(,y0)，则Q(,0)，于是|PQ|2=y02，|OQ|=，又由|PQ|2=λ|BC|·|OQ|得y02=λ×2p×，解得λ=1.
11.知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点M是A1B1的中点，若|AF|=m，|BF|=n，则|MF|=  (    )
A.m+n           B.             C.          D.mn
【答案】答案：C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图,

连接AlF、BlF,由抛物线的定义,有AAl=AF,BBl=BF,则有∠AA1F=∠AFA1,∠BB1F=∠BFB1,容易证明∠AlFB1=90°.所以MF为直角三角形A1FB1斜边上的中线.故
在直角梯形AA1B1B中,构造直角三角形可解得
|A1B1|=
12．经过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1·y2的值为(    )
A.2p2            B．p2                  C．-2P2           D．-p2
【答案】D 
【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：
y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：
y2=2P()即  ∴y1·y2=-p2.
13.椭圆=1(a＞b＞0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为（    ）
A.       B.                 C.             D.
【答案】D
解析:假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，则==.排除选项A、B、C，选D.
14.【3分】过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1·k2的值为（    ）
A.2            B.-2                 C.                 D.-
【答案】【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点P(x0,y0),则k1=,k2==.
    将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-.
    ∴k1·k2=·
    ==-.
答案：D
15．已知点P是双曲线(a＞0,b＞0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，H为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为________.
【答案】
【解析】设R为△PF1F2内切圆的半径,∵,且
,,,
故|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即|PF1|－|PF2|=λ|F1F2|,
∴.
16．已知F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,·的值为________________.
【答案】答案：0  由已知F1(,0),F2(,0),P(),PF1的斜率k1=,PF2的斜率k2=,k1k2=-1,
∴PF1⊥PF2,即=0.
17．过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为,则m6+m4=__________.
【答案】【解析】∵直线x-my+m=0过焦点,

∴m=.
∴直线方程为2x+py-p=0.
解方程组
消去x,得y2+p2y-p2=0.
设A、B的纵坐标为y1、y2,y1、y2为方程的两根,
∴
｜y1-y2｜=.
∴S=×｜y1-y2｜=.
∴p6+4p4=16×8.又p=-2m,
∴26m6+26m4=27.∴m6+m4=2.
答案：2
18.过抛物线（＞0）上一定点＞0），作两条直线分别交抛物线于，，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数．
【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为．
由 相减得，

故
同理可得，
由倾斜角互补知：
∴
∴
由 相减得，
∴
∴直线的斜率为非零常数．
19．已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(－1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(1)由题意,c＝1,可设椭圆方程为,
因为A在椭圆上,
所以,
解得b2＝3,(舍去).
所以椭圆方程为.
(2)设直线AE方程:
,代入得
(3+4k2)x2+4k(3－2k)x+4()2－12＝0.
设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上,
所以,.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以－k代k,可得,
.[来源:学§科§网]
所以直线EF的斜率,
即直线EF的斜率为定值,其值为.

20.已知定点在抛物线：（＞0）上，动点且．求证：弦必过一定点．
【解析】设所在直线方程为：．
与抛物线方程联立，消去得
．
设，
则 ……①
……②
由已知得，．即 ……③
∵

∴③式可化为，
即．
将①②代入得，．
直线方程化为：．
∴直线恒过点．
21．是经过椭圆 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦，求证：：是定值
解析：对于本题，,分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有，,（定值）．下面再证明一般性．
设平行弦、的倾斜角为，则斜率，的方程为代入椭圆方程，又∵即得 ，另一方面，直线方程为．同理可得 由可知（定值）
关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．
22．设上的两点，已知向量，,若m·n=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.
  (Ⅰ)求椭圆的方程；
 （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【答案】   解：（Ⅰ）由题意知
椭圆的方程为                       
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为

由已知得：                                    

(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由m·n=0
得                         
又 在椭圆上，所以，
所以S =
所以三角形AOB的面积为定值                           
（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
,

由

所以三角形的面积为定值. 
23.过抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m,0)(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.

(1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;
(2)若点N是定直线l:x=－m上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k1,k2,k3,试探求k1,k2,k3之间的关系,并给出证明.
【答案】证明：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)有y1y2=－2pm,下证之:
设直线AB的方程为:x=ty+m与y2=2px联立得,消去x得y2－2pty－2pm=0,
由韦达定理得y1y2=－2pm.

(2)三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之:
设点N(－m,n),则直线AN的斜率为;
直线BN的斜率为,
∴.
又∵直线MN的斜率为
∴kAN+kBN=2kMN,即直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.

24.如图,在直角坐标系xOy中,△AiBiAi+1 (i=1,2,…,n,…)为正三角形,,|AiAi+1|=2i－1(i=1,2,3,…,n,…).

(1)求证:点B1,B2,…,Bn,…在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程;
(2)设直线l过坐标原点O,点B1关于l的对称点B′在y轴上,求直线l的方程;
(3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M、N,若(λ＞0),抛物线C的准线n与x轴交于E,求证:与的夹角为定值.
【答案】解：(1)设Bn(x,y),则

消去n得y2=3x.
所以点B1,B2,…,Bn,…在同一条抛物线y2=3x上.

(2)解1:由(1)得,所以,
因为点B′与点B1关于直线l对称,则,
所以所求直线方程为
(3)设M,N在直线n上的射影为M′,N′,
则有: ,.
由于,
所以.
因为,所以
所以与的夹角为90°(定值)

25.如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
[来源:学科网ZXXK]
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.
(ⅰ)证明：＝2.
(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 (1)解：因为椭圆过点(1，)，e＝，
所以＝1，＝.
又a2＝b2＋c2，
所以a＝，b＝1，c＝1.[来源:学科网ZXXK]
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)(ⅰ)证明：方法一：由于F1(－1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，
所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0.
又直线PF1，PF2的方程分别为y＝k1(x＋1)，y＝k2(x－1)，
联立方程解得
所以P(，)．
由于点P在直线x＋y＝2上，
所以＝2.
因此2k1k2＋3k1－k2＝0，
即＝2，结论成立．
方法二：设P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
因为点P不在x轴上，所以y0≠0.
又x0＋y0＝2，
所以＝2.
因此结论成立．
(ⅱ)解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)．
联立直线PF1与椭圆的方程得
化简得(2k＋1)x2＋4kx＋2k－2＝0，
因此xA＋xB＝－，xAxB＝，
由于OA，OB的斜率存在，
所以xA≠0，xB≠0，因此k≠0,1.
因此kOA＋kOB＝
＝2k1＋k1＝k1(2－)[来源:学科网ZXXK]
＝－＝－.
相似地，可以得到xC≠0，xD≠0，k≠0,1，kOC＋kOD＝－，
故kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝－2(＋)
＝－2＝－.
若kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0，
须有k1＋k2＝0或k1k2＝1.
①当k1＋k2＝0时，结合(ⅰ)的结论，可得k2＝－2，所以解得点P的坐标为(0,2)；
②当k1k2＝1时，结合(ⅰ)的结论，解得k2＝3或k2＝－1(此时k1＝－1，不满足k1≠k2，舍去)，此时直线CD的方程为y＝3(x－1)，联立方程x＋y＝2得x＝，y＝.
因此P(，)．综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，)．
26.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.
[来源:学科网]
(1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
(2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．
【答案】解：由题设得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)．
(1)设点P(x，y)，则PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2.
由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化简得x＝.
故所求点P的轨迹为直线x＝.
(2)由x1＝2，＝1及y1＞0，得y1＝，则点M(2，)，从而直线AM的方程为y＝x＋1；

由x2＝，＝1及y2＜0，得y2＝－，则点N(，－)，从而直线BN的方程为y＝.
由
所以点T的坐标为(7，)．

(3)由题设知，直线AT的方程为y＝ (x＋3)，直线BT的方程为y＝ (x－3)．
点M(x1，y1)满足
得.
因为x1≠－3，则，
解得x1＝，
从而得y1＝.
点N(x2，y2)满足.
若x1＝x2，则由及m＞0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)．
若x1≠x2，则m≠2，直线MD的斜率kMD＝，
直线ND的斜率kND＝，得kMD＝kND，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)
27.如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，
所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.
故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，
所以m＝2，
因此双曲线的标准方程为＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则k1＝，k2＝.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，
所以x－y＝4.
因此k1·k2＝·＝＝1，
即k1·k2＝1.[来源:Zxxk.Com]
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得
(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，[来源:Zxxk.Com]
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得|CD|＝.
则，
又k1·k2＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
28、已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的离心率为,右准线方程为.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.
【答案】分析：由以及易求第(Ⅰ)问结论,
第(Ⅱ)问圆x2+y2=2上点P(x0,y0)处切线方程为x0x+y0y=2,代入椭圆中,利用根与系数的关系求解=0即证.
解法一:(Ⅰ)由题意得
解得a=1,.
所以b2=c2-a2=2.
所以双曲线C的方程为.
(Ⅱ)点P(x0,y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上,
圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为,
化简得x0x+y0y=2.
由及x02+y02=2,得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0.
因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B且0＜x02＜2,
所以3x02-4≠0,且Δ=16x02-4(3x02-4)(8-2x02)＞0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则,.
因为,
且=x1x2+y1y2=
=
=
=,
所以∠AOB的大小为90°.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)点P(x0,y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上,
圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为
,
化简得x0x+y0y=2.
由及x02+y02=2,得
(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0,①
(3x02-4)y2+8y0y-8+2x02=0.②
因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B,所以3x02-4≠0.
设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则,.所以=x1x2+y1y2=0.
所以∠AOB的大小为90°.
(因为x02+y02=2且x0y0≠0,所以0＜x02＜2,0＜y02＜2,从而当3x02-4≠0时,方程①与方程②的判别式均大于0)
29．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点.
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：由条件知，，设，.
解法一：（I）设，则，，
，由得
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时，，即.
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即.
将代入上式，化简得.
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
（II）假设在轴上存在定点，使为常数.
当不与轴垂直时，设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

.
因为是与无关的常数，所以，即，此时=.
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为、，
此时.
故在轴上存在定点，使为常数.
解法二：（I）同解法一的（I）有①
当不与轴垂直时，设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根，所以.②
. ③
由①、②、③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时，，由④、⑤得，，将其代入⑤有
.整理得.
当时，点的坐标为，满足上述方程.
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，.
以下同解法