圆锥曲线中的最值与定值问题.doc

圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【题型分析】1.已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值 分析：设P（,），,点P到直线AB：x+2y=2的距离所求面积的最大值为（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：（）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22综上可知的最小值为23定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解析 设，因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，将它代入得由得即，将代入得当且仅当即时取等号，此时，所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为4.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P位置时，有最大值，最大值为；当P到位置时，有最小值，最小值为.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）5.已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当时，此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。6.已知的面积为， （1）设，求正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设 （2）设所求的双曲线方程为，又，当且仅当时，最小，此时的坐标是或 ，所求方程为（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力）7.如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分析：，设，则设直线的方程为代入椭圆方程得即令，（）利用均值不等式不能区取“”利用（）的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）（从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）8设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.【专家解答】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 的解. 将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是设点P的坐标为(x,y), 则消去参数k得4x2+y2-y=0 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为 （2）由点P的轨迹方程知所以 故当，取得最小值，最小值为当时，取得最大值，最大值为9.椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.（1）用直线的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：（1）设椭圆E的方程为( ab0 )，由e =a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分向量的比为2， 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2将x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 10.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中， 如图，设点，是相应椭圆的焦点， ，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点（1） 若是边长为1的等边三角形，（2） 求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标解：（1） ，于是，yO.Mx.所求“果圆”方程为， （2）设，则， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或11. P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQMN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为，则：从而当时，MN的斜率为，同上可推得故四边形面积令，得因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。当时，MN为椭圆长轴，综合知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。12. 已知抛物线，过M（a，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于（2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。解：（1）直线的方程为：，将代入抛物线方程，设得设直线与抛物线两交点的坐标分别为，则，并且又所以 解得：（2）令AB中点为Q，即NAB的面积的最大值为。圆锥曲线中的定值问题【热点透析】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关【题型分析】1.过抛物线：（0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）A B C D解法1：（特殊值法）令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法）如图1，设，且，分别垂直于准线于，图1抛物线（0）的焦点，准线来源:Zxxk.Com ：又由，消去得， 【难点突破】2.若AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与坐标轴不平行,分别表示直线AM,BM的斜率,则=( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】本题可用特殊值法不妨设弦AB为椭圆的短轴M为椭圆的右顶点，则A(0，b)，B(0，b)，M(a，0)所以故选B3.已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A.+=4 B.+=2C.e12+e22=4 D.e12+e22=2【答案】B 设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1与PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,2a12+2a22=4c2.+=2.4.已知定圆O1、O2的半径分别为r1、r2,圆心距|O1O2|=2,动圆C与圆O1、O2都相切,圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为e1、e2,则的值为 A.r1+r2 B.r1和r2中的较大者C.r1和r2中的较小者 D.|r1-r2|【答案】B 若动圆与O1，O2外切或内切，则2a=|r1-r2|,2c=2,当r1r2时，=;当r1r2,则=.若动圆与O1和O2内切与外切，则2a=r1+r2,2c=2,=.r1r2时，=+=+=r1;r2r1时，=+=+=r2,故选B. 5.如图2所示，F为双曲线C:=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是 图2A.9 B.16 C.18 D.27【答案】C 取双曲线右焦点记为F2,P3与P4关于y轴对称,|P4F|=|P3F2|.|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.6双曲线-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则等于 A.0 B.-1C.1 D.与PQ的位置及a的值有关【答案】答案：C解析:由题意知2=c得c2=2a2,又c2=a2+b2=a2+1,a2=1.双曲线为x2-y2=1.设P(x0,y0),则Q(x0,-y0).故=(x0,y0),=(x0,-y0),=x02-y02=1.7过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p0)于P、Q两点,则+的值为 A. B. C. D.【答案】答案:D【解析】不妨取PQx轴,则P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p.+=8椭圆C1：+=1(ab0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则-等于( ) A.-1 B.1 C.- D.【答案】答案：B【解析】因为C为抛线上的点，所以P到其焦点F2的距离|PF2|与其到准线l的距离d相等，因为P也是椭圆上的点，P到其准线l的距离也是d，由椭圆第二定义，得再由椭圆第一定义，得|PF1|+|PF2|=2a，由两式解得|PF1=|，故=1.9双曲线C:-=1(ab0)中，F1、F2是它的焦点，设抛物线l的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，l的准线与C的左准线重合，P是C与l的一个交点，那么=_. 【答案】【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由抛物线定义有|PF2|=|PN|(N为点P在左准线上的射影), 又=e,=e=, 又|PF1|-|PF2|=2a， 即m-n=2a. 由得m=.原式=-=e-2c=1.答案：110设抛物线的顶点为O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上任一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，若|PQ|2=|BC|OQ|，则的值为 A. B.1 C.2 D.3【答案】答案：B 设抛物线方程为y2=2px(p0)，则BC为抛物线的通径，故|BC|=2p；设P(,y0)，则Q(,0)，于是|PQ|2=y02，|OQ|=，又由|PQ|2=|BC|OQ|得y02=2p，解得=1.11.知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点M是A1B1的中点，若|AF|=m，|BF|=n，则|MF|= ( ) A.m+n B. C. D.mn【答案】答案：C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图,连接AlF、BlF,由抛物线的定义,有AAl=AF,BBl=BF,则有AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,容易证明AlFB1=90.所以MF为直角三角形A1FB1斜边上的中线.故在直角梯形AA1B1B中,构造直角三角形可解得|A1B1|=12经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1y2的值为( ) A.2p2 Bp2 C-2P2 D-p2【答案】D 【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：y2=2P()即 y1y2=-p2.13.椭圆=1(ab0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. D.【答案】D解析:假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，则=.排除选项A、B、C，选D.14.【3分】过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为（ ） A.2 B.-2 C. D.-【答案】【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点P(x0,y0),则k1=,k2=. 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-. k1k2= =-.答案：D15已知点P是双曲线(a0,b0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，H为PF1F2的内心，若成立，则的值为_. 【答案】【解析】设R为PF1F2内切圆的半径,且,故|PF1|=|PF2|+|F1F2|,即|PF1|PF2|=|F1F2|,.16已知F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当F1PF2的面积为1时,的值为_. 【答案】答案：0 由已知F1(,0),F2(,0),P(),PF1的斜率k1=,PF2的斜率k2=,k1k2=-1,PF1PF2,即=0.17过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且OAB(O为坐标原点)的面积为,则m6+m4=_. 【答案】【解析】直线x-my+m=0过焦点,m=.直线方程为2x+py-p=0.解方程组消去x,得y2+p2y-p2=0.设A、B的纵坐标为y1、y2,y1、y2为方程的两根,y1-y2=.S=y1-y2=.p6+4p4=168.又p=-2m,26m6+26m4=27.m6+m4=2.答案：218.过抛物线（0）上一定点0），作两条直线分别交抛物线于，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为由 相减得，故 同理可得， 由倾斜角互补知： 由 相减得， 直线的斜率为非零常数19已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【答案】解:(1)由题意,c1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,所以,解得b23,(舍去).所以椭圆方程为.(2)设直线AE方程:,代入得(3+4k2)x2+4k(32k)x+4()2120.设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上,所以,.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得,.来源:学科网所以直线EF的斜率,即直线EF的斜率为定值,其值为. 20.已知定点在抛物线：（0）上，动点且求证：弦必过一定点【解析】设所在直线方程为：与抛物线方程联立，消去得设，则 由已知得，即 式可化为，即将代入得，直线方程化为：直线恒过点21是经过椭圆 右焦点的任一弦，若过椭圆中心的弦，求证：是定值解析：对于本题，,分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0，此时有，,（定值）下面再证明一般性设平行弦、的倾斜角为，则斜率，的方程为代入椭圆方程，又即得 ，另一方面，直线方程为同理可得 由可知（定值）关于式也可直接由焦点弦长公式得到22设上的两点，已知向量，,若mn=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. ()求椭圆的方程；（）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】 解：（）由题意知 椭圆的方程为 （）由题意，设AB的方程为由已知得： () （1）当直线AB斜率不存在时，即,由mn=0得 又 在椭圆上，所以，所以S =所以三角形AOB的面积为定值 （2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b, 由 所以三角形的面积为定值. 23.过抛物线y2=2px(p0)的对称轴上的定点M(m,0)(m0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点. (1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;(2)若点N是定直线l:x=m上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k1,k2,k3,试探求k1,k2,k3之间的关系,并给出证明.【答案】证明：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)有y1y2=2pm,下证之: 设直线AB的方程为:x=ty+m与y2=2px联立得,消去x得y22pty2pm=0,由韦达定理得y1y2=2pm.(2)三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之:设点N(m,n),则直线AN的斜率为;直线BN的斜率为,.又直线MN的斜率为kAN+kBN=2kMN,即直线AN,MN,BN的斜率成等差数列. 24.如图,在直角坐标系xOy中,AiBiAi+1 (i=1,2,n,)为正三角形,|AiAi+1|=2i1(i=1,2,3,n,). (1)求证:点B1,B2,Bn,在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程;(2)设直线l过坐标原点O,点B1关于l的对称点B在y轴上,求直线l的方程;(3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M、N,若(0),抛物线C的准线n与x轴交于E,求证:与的夹角为定值.【答案】解：(1)设Bn(x,y),则 消去n得y2=3x.所以点B1,B2,Bn,在同一条抛物线y2=3x上.(2)解1:由(1)得,所以,因为点B与点B1关于直线l对称,则,所以所求直线方程为(3)设M,N在直线n上的射影为M,N,则有: ,.由于,所以.因为,所以所以与的夹角为90(定值)25.如图，已知椭圆1(ab0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：xy2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点 来源:学科网ZXXK(1)求椭圆的标准方程(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.()证明：2.()问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOAkOBkOCkOD0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】 (1)解：因为椭圆过点(1，)，e， 所以1，.又a2b2c2，所以a，b1，c1.来源:学科网ZXXK故所求椭圆方程为y21.(2)()证明：方法一：由于F1(1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1k2，k10，k20.又直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x1)，yk2(x1)，联立方程解得所以P(，)由于点P在直线xy2上，所以2.因此2k1k23k1k20，即2，结论成立方法二：设P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P不在x轴上，所以y00.又x0y02，所以2.因此结论成立()解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)联立直线PF1与椭圆的方程得化简得(2k1)x24kx2k20，因此xAxB，xAxB，由于OA，OB的斜率存在，所以xA0，xB0，因此k0,1.因此kOAkOB2k1k1k1(2)来源:学科网ZXXK.相似地，可以得到xC0，xD0，k0,1，kOCkOD，故kOAkOBkOCkOD2()2.若kOAkOBkOCkOD0，须有k1k20或k1k21.当k1k20时，结合()的结论，可得k22，所以解得点P的坐标为(0,2)；当k1k21时，结合()的结论，解得k23或k21(此时k11，不满足k1k2，舍去)，此时直线CD的方程为y3(x1)，联立方程xy2得x，y.因此P(，)综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，)26.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20. 来源:学科网(1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹；(2)设x12，x2，求点T的坐标；(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)【答案】解：由题设得A(3,0)，B(3,0)，F(2,0) (1)设点P(x，y)，则PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所求点P的轨迹为直线x.(2)由x12，1及y10，得y1，则点M(2，)，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1及y20，得y2，则点N(，)，从而直线BN的方程为y.由所以点T的坐标为(7，)(3)由题设知，直线AT的方程为y (x3)，直线BT的方程为y (x3)点M(x1，y1)满足得.因为x13，则，解得x1，从而得y1.点N(x2，y2)满足.若x1x2，则由及m0，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0) 27.如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.来源:Zxxk.Com(3)由于PF1的方程为yk1(x2)，将其代入椭圆方程得(2k1)x28kx8k80，来源:Zxxk.Com显然2k10，显然0.由韦达定理得x1x2，x1x2.所以|AB|.同理可得|CD|.则，又k1k21，所以.故|AB|CD|AB|CD|.因此存在，使|AB|CD|AB|CD|恒成立28、已知双曲线C:(a0,b0)的离心率为,右准线方程为. ()求双曲线C的方程;()设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明AOB的大小为定值.【答案】分析：由以及易求第()问结论,第()问圆x2+y2=2上点P(x0,y0)处切线方程为x0x+y0y=2,代入椭圆中,利用根与系数的关系求解=0即证.解法一:()由题意得解得a=1,.所以b2=c2-a2=2.所以双曲线C的方程为.()点P(x0,y0)(x0y00)在圆x2+y2=2上,圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为,化简得x0x+y0y=2.由及x02+y02=2,得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0.因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B且0x022,所以3x02-40,且=16x02-4(3x02-4)(8-2x02)0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则,.因为,且=x1x2+y1y2=,所以AOB的大小为90.解法二:()同解法一.()点P(x0,y0)(x0y00)在圆x2+y2=2上,圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为,化简得x0x+y0y=2.由及x02+y02=2,得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0,(3x02-4)y2+8y0y-8+2x02=0.因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B,所以3x02-40.设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则,.所以=x1x2+y1y2=0.所以AOB的大小为90.(因为x02+y02=2且x0y00,所以0x022,0y022,从而当3x02-40时,方程与方程的判别式均大于0)29已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点. （I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：由条件知，设，.解法一：（I）设，则，由得即于是的中点坐标为.当不与轴垂直时，即.又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即.将代入上式，化简得.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.所以点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点，使为常数.当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以，于是.因为是与无关的常数，所以，即，此时=.当与轴垂直时，点的坐标可分别设为、，此时.故在轴上存在定点，使为常数.解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以. 由、得.当时，由、得，将其代入有.整理得.当时，点的坐标为，满足上述方程.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.故点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，.以下同解法