圆锥曲线定点、定直线、定值问题.doc

定点、定直线、定值专题
1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
(II)设，由得，
，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，
(最好是用向量点乘来)，
，
，解得，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
2、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ）设椭圆的方程为。 ………………… 1分
∵，，∴，。 ……………… 4分
∴椭圆的方程为。 ……………………………………… 5分
（Ⅱ）取得，直线的方程是
直线的方程是交点为 …………7分,
若，由对称性可知交点为
若点在同一条直线上，则直线只能为。…………………8分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，
记，则。………… 9分
设与交于点由得
设与交于点由得……… 10

，……12分
∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。 13分
解法二：（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为 ………………………………………… 7分
取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。 ……………8分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。………………9分
的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证……………… ②∵∴②式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。
解法三：（Ⅱ）由得即。
记，则。…………… 6分
的方程是的方程是 …… 7分
由得 ………………… 9分
即
……………………………… 12分
这说明，当变化时，点恒在定直线上。……………… 13分

3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为，离心率为﹒
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得： 。。。。。2分
椭圆E的方程为。。。。 3分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

。。。。。 5分
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则
由得
7分

所以 9分
对于任意的值，为定值，所以，得，
所以； 11分
②当直线的斜率不存在时，直线
由得
综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒ 13分
法二：假设存在点，又设则：
=…. 5分
①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
由得 7分

9分
设则
11分
②当直线的斜率为0时，直线，由得：

综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为 。。。。13分

4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；
（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、
三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。
解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知
故椭圆方程为
（Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）
代入，得 设
则,

由，
当时，有成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则
的方程为、在直线上，

在轴上存在定点，使得三点共线。
解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。设的方程为
代入，得设则

当时，有成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。
设存在使得、、三点共线，则，
，
即
，存在，使得三点共线。
6、（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段
AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）圆过点O、F，M在直线上。
设则圆半径
由得 解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为令得

点G横坐标的取值范围为

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