三角函数的图像与性质.doc

省栟中高一数学复习讲义 编写：缪鹏三角函数的图像与性质【课前预习】1函数f(x)sin2的最小正周期是_1. 解析：对解析式进行降幂扩角，转化为f(x)cos，可知其最小正周期为.2. 将函数ysin(2x)(0)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值是_2. 解析：函数ysin(2x)的图象向左平移个单位后，得ysin，则k，又0，故.3.已知函数f(x)3sin(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_3. 解析：由题意知，2，因为x，所以2x，由三角函数图象知：f(x)的最小值为3sin，最大值为3sin 3，所以f(x)的取值范围是.4.函数yAsin(x)k(A0，0，|)的图象如图所示，则y的表达式是_4. ysin1解析：由图知，A，T，则2，k1，将点代入解析式可求得，ysin1.【典型例题】例1求下列函数的值域：(1)y2cos2x2cosx；(2)y3cosxsinx；(3)ysinxcosxsinxcosx.(4)y.解析：(1)y2cos2x2cosx22.于是当且仅当cosx1时取得ymax4，当且仅当cosx时取得ymin，故函数值域为.(2)y3cosxsinx22cos.|cos|1，该函数值域为2，2(3)令tsinxcosx，则sinxcosx，且|t|.y(t21)t(t1)21，当t1时，ymin1，当t时，ymax.该函数值域为.(4)方法一：y2，由于1sinx1，所以5，函数的值域为.方法二：由y，解得sinx，1sinx1，11，解得3y，函数的值域为.例2已知函数f(x)2sin2cos2x(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若不等式|f(x)m|2在x上恒成立，求实数m的取值范围 (2)|f(x)m|2f(x)2mf(x)2，x，mf(x)max2且mf(x)min2，1m4，即m的取值范围是(1,4)例3 已知函数f(x)Asin(x)(A0,0，xR)的最大值是1，其图象经过点M.(1)求f(x)的解析式；(2)已知，且f()，f()，求f()的值3. (1)依题意知A1，fsin，例4已知函数（）的最小正周期为（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象若在上至少含有个零点，求的最小值【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）要求单调区间，首先要对进行化简得到最间形式，依次利用正弦二倍角，降幂公式，和辅助角公式就可以得到，进而利用复合函数的单调性内外结合求得函数的单调区间.（2）利用“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，令，求出所有的零点，在根据上至少含有个零点，得到b的取值范围，进而得到b的最小值.试题解析：（1）由题意得 2分由周期为，得.得 4分由正弦函数的单调增区间得，得所以函数的单调增区间是 6分（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，所以 8分令，得：或 10分所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上有个零点，则不小于第个零点的横坐标即可，即的最小值为 12分考点：零点 单调性 辅助角公式 正余弦倍角公式例5已知向量a(Asin x，Acos x)，b(cos ，sin )，f(x)ab1，其中A0，0，为锐角f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，且当x时，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移(0)个单位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求的最小值【答案】（1）f(x)2sin1（2）【解析】(1)f(x)ab1Asinxcos Acos xsin 1Asin(x)1，f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，T.2.当x时，f(x)的最大值为3.A312，且22k(kZ)2k.为锐角，.f(x)2sin1.(2)由题意可得g(x)的解析式为g(x)2sin.g(x)为奇函数，2k， (kZ)0，当k1时，取最小值例6.已知函数（）求函数的单调递增区间；（）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围【答案】（），（）【解析】试题分析：（）先将函数化简，化简时先用2倍角公式降幂，在将角统一，最后用化一公式化简成的形式。再将代入正弦增区间公式即可。（）由（）知，所以在区间上有两个不同的实数根等价于和的图像有两个交点，利用数形结合即可解决此题。试题解析：（） 由解得 所以的递增区间是： （）因为，所以令“关于的方程在内有两个不同的实数根”等价于“函数，和的图象有两个不同的交点”. 在同一直角坐标系中作出函数，和的图象如下： 由图象可知：要使“函数，和的图象有两个不同的交点”，必有，即因此的取值范围是. 考点：三角函数的单调性和图像【课堂练习】1.使函数ysin x(0)在区间0,1上至少出现两次最大值，则的最小值为_1. 解析：要使ysin x(0)在区间0,1上至少出现两次最大值，只需1，所以，从而min.2. 关于x的函数f(x)cos(xa)有以下命题：对任意a，f(x)都是非奇非偶函数；不存在a，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；存在a，使f(x)是偶函数其中假命题的序号是_2. 解析：当a0时，f(x)cos x是偶函数，故为假命题正确3.为了得到函数ysin的图象，只需把函数ycos的图象_4.sin 11，cos 10，sin 168的大小关系是_4.解析：sin 11cos 79，sin 168cos 78，又ycos x在0，90上单调递减，797810，sin 11sin 168cos 10.5若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值为，则_.5. 解析：01，x，x，f(x)max2sin，sin，.