三角函数的图像与性质.ppt

1.4 1.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1.4.11.4.1正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 2.2.任意给定一个实数任意给定一个实数x x，对应的正弦值，对应的正弦值（sinxsinx）、余弦值）、余弦值(cosxcosx)是否存在？惟一？是否存在？惟一？问题提出问题提出1.1.在单位圆中，角在单位圆中，角的正弦线、余弦线的正弦线、余弦线分别是什么？分别是什么？P P（x x，y y）O Ox xy yMsin=MPcos=OM4.4.一个函数总具有许多基本性质，要直一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？我们应从哪个方面人手？3.3.设实数设实数x x对应的角的正弦值为对应的角的正弦值为y y，则对，则对应关系应关系y=y=sinxsinx就是一个函数，称为就是一个函数，称为正弦正弦函数函数；同样；同样y=y=cosxcosx也是一个函数，称为也是一个函数，称为余弦函数余弦函数，这两个函数的定义域是什么，这两个函数的定义域是什么？知识探究（一）：知识探究（一）：正弦函数的图象正弦函数的图象 思考思考1 1：作函数图象最原始的方法是什么作函数图象最原始的方法是什么？思考思考2 2：用描点法作正弦函数用描点法作正弦函数y=y=sinxsinx在在00，22内的图象，可取哪些点？内的图象，可取哪些点？思考思考3 3：如何在直角坐标系中比较精确地如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出描出这些点，并画出y=y=sinxsinx在在00，22内的图象？内的图象？xy1-1O22思思考考4 4：观观察察函函数数y=y=sinxsinx在在00，22内内的的图图象象，其其形形状状、位位置置、凸凸向向等等有有何何变变化化规律？规律？思思考考5 5：在在函函数数y=y=sinxsinx，x0 x0，22的的图象上，起关键作用的点有哪几个？图象上，起关键作用的点有哪几个？x-1O221y y思思 考考 6 6：当当 x2x2，4,4,-2-2，0,0,时，时，y=y=sinxsinx的图象如何？的图象如何？y-1xO123456-2-3-4-5-6-思思考考7 7：函函数数y=y=sinxsinx，xRxR的的图图象象叫叫做做正正弦曲线弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？，正弦曲线的分布有什么特点？y-1xO123456-2-3-4-5-6-思考思考8 8：你能画出函数你能画出函数y=|y=|sinxsinx|，x0 x0，22的图象吗？的图象吗？y yx xO O122-1-1知识探究（二）：知识探究（二）：余弦函数的图象余弦函数的图象 思思考考1 1：观观察察函函数数y=xy=x2 2与与y=(xy=(x1)1)2 2 的的图图象象，你你能能发发现现这这两两个个函函数数的的图图象象有有什什么么内在联系吗？内在联系吗？x xy yo o-1-1思思考考2 2：一一般般地地，函函数数y=y=f(xf(xa)(aa)(a0)0)的的图图象象是是由由函函数数y=y=f(xf(x)的的图图象象经经过过怎怎样样的的变换而得到的？变换而得到的？向左平移向左平移a a个单位个单位.思思考考3 3：设设想想由由正正弦弦函函数数的的图图象象作作出出余余弦弦函函数数的的图图象象，那那么么先先要要将将余余弦弦函函数数y=y=cosxcosx转转化化为为正正弦弦函函数数，你你可可以以根根据据哪哪个公式完成这个转化？个公式完成这个转化？思考思考4 4：由诱导公式可知，由诱导公式可知，y=y=cosxcosx与与 是是同同一一个个函函数数，如如何何作作函函数数 在在00，22内的图象？内的图象？xy yO221y=y=sinxsinx-1-1思思考考5 5：函函数数y=y=cosxcosx，x0 x0，22的的图图象象如如何何？其其中中起起关关键键作作用用的的点点有有哪哪几几个个？xy yO221-1-1思思考考6 6：函函数数y=y=cosxcosx，xRxR的的图图象象叫叫做做余余弦弦曲曲线线，怎怎样样画画出出余余弦弦曲曲线线，余余弦弦曲曲线线的分布有什么特点？的分布有什么特点？xyO1-1理论迁移理论迁移 例例1 1 用用“五五点点法法”画画出出下下列列函函数数的的简图：简图：(1)(1)y=1+sinxy=1+sinx，x0 x0，22；(2)(2)y=-y=-cosxcosx，x0 x0，2.2.x xsinxsinx1+sinx1+sinx1 10 00 00 00 01 1-1-11 12 20 01 1x-1O221y y2y=1+sinxy=1+sinxx xcosxcosx-cosxcosx1 10 01 10 00 01 1-1-1-1-10 00 0-1-1x-1O221y yy=-y=-cosxcosx 例例2 2 当当x0 x0，22时，求不等式时，求不等式 的解集的解集.xy yO221-1-1小结作业小结作业1.1.正正、余余弦弦函函数数的的图图象象每每相相隔隔22个个单单位位重重复复出出现现，因因此此，只只要要记记住住它它们们在在00，22内内的的图图象象形形态态，就就可可以以画画出出正正弦弦曲曲线和余弦曲线线和余弦曲线.2.2.作作与与正正、余余弦弦函函数数有有关关的的函函数数图图象象，是是解解题题的的基基本本要要求求，用用“五五点点法法”作作图图是常用的方法是常用的方法.3.3.正正、余余弦弦函函数数的的图图象象不不仅仅是是进进一一步步研研究究函函数数性性质质的的基基础础，也也是是解解决决有有关关三三角角函函数数问问题题的的工工具具，这这是是一一种种数数形形结结合合的的数学思想数学思想.作业：作业：P34P34练习：练习：2 2 P46 P46习题习题1.4 A1.4 A组组:1 1第一课时第一课时 1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 问题提出问题提出1.1.正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数的的图图象象分分别别是是什什么？二者有何相互联系？么？二者有何相互联系？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=y=sinxsinxxyO1-1y=y=cosxcosx2.2.世世界界上上有有许许多多事事物物都都呈呈现现“周周而而复复始始”的的变变化化规规律律，如如年年有有四四季季更更替替，月月有有阴阴晴晴圆圆缺缺.这这种种现现象象在在数数学学上上称称为为周周期期性性，在在函函数数领领域域里里，周周期期性性是是函函数数的的一一个个重重要性质要性质.知识探究（一）：知识探究（一）：周期函数的概念周期函数的概念 思思考考1 1：由由正正弦弦函函数数的的图图象象可可知知,正正弦弦曲曲线线每每相相隔隔22个个单单位位重重复复出出现现，这这一一规规律的理论依据是什么？律的理论依据是什么？.思考2：设设f(xf(x)=)=sinxsinx，则，则 可以怎样表示？其数学意义如何？可以怎样表示？其数学意义如何？思思考考3 3：为为了了突突出出函函数数的的这这个个特特性性，我我们们把把函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx称称为为周周期期函函数数，2k2k为为这这个个函函数数的的周周期期.一一般般地地，如如何何定定义义周周期期函数？函数？对对于于函函数数f(xf(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使使得得当当x x取取定定义义域域内内的的每每一一个个值值时时，都都有有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x),),那那么么函函数数f(xf(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T T就就叫叫做这个函数的周期做这个函数的周期.思思考考4 4：周周期期函函数数的的周周期期是是否否惟惟一一？正正弦弦函数的周期有哪些？函数的周期有哪些？思思考考5 5：如如果果在在周周期期函函数数f(xf(x)的的所所有有周周期期中中存存在在一一个个最最小小的的正正数数,则则这这个个最最小小正正数数叫叫做做f(xf(x)的的最最小小正正周周期期.那那么么,正正弦弦函函数的最小正周期是多少？为什么？数的最小正周期是多少？为什么？正正、余余弦弦函函数数是是周周期期函函数数，2k2k（kZkZ,k0k0）都都是是它它的的周周期期，最小正周期是最小正周期是22思思考考6 6：就就周周期期性性而而言言，对对正正弦弦函函数数有有什么结论？对余弦函数呢？什么结论？对余弦函数呢？知识探究（二）：知识探究（二）：周期概念的拓展周期概念的拓展 思思考考1 1：函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx（x0 x0）是是否否为为周周期期函函数数？函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx（x0 x0）是是否为周期函数？否为周期函数？思思考考2 2：函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx（x x0 0）是是否否为为周周期期函函数数？函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx（x3kx3k）是否为周期函数？是否为周期函数？思思考考3 3：函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx，x0 x0，1010是是否否为为周周期期函函数数？周周期期函函数数的的定定义义域域有有什么特点？什么特点？思思考考4 4：函函数数y=3sin(2xy=3sin(2x4)4)的的最最小小正正周期是多少？周期是多少？思考思考5 5：一般地，函数一般地，函数 的最小正周期是多少的最小正周期是多少?思思考考6 6：如如果果函函数数y=y=f(xf(x)的的周周期期是是T T，那那么函数么函数y=y=f(xf(x)的周期是多少？的周期是多少？理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx;xRxR（2）y=sin2x，xR R；（3 3），xRxR ；（4 4）y=|y=|sinxsinx|xRxR.例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x)满足满足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试试判判断断f(xf(x)是是否否为为周周期函数？期函数？例例3 3 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x)满足满足f(xf(x1)=1)=f(xf(x1)1)，且且当当x0 x0，22时时，f(xf(x)=x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值.小结作业小结作业 1.1.函函数数的的周周期期性性是是函函数数的的一一个个基基本本性性质质，判判断断一一个个函函数数是是否否为为周周期期函函数数，一一般般以以定定义义为为依依据据，即即存存在在非非零零常常数数T T，使使f(xf(xT)=T)=f(xf(x)恒成立恒成立.2.2.周周期期函函数数的的周周期期与与函函数数的的定定义义域域有有关关，周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.3.3.周周期期函函数数的的周周期期有有许许多多个个，若若T T为为周周期期函函数数f(xf(x)的的周周期期，则则T T的的整整数数倍倍也也是是f(xf(x)的周期的周期.4.4.函数函数 和和 的的最最小小正正周周期期都都是是 ，这这是是正正、余余弦弦函函数数的的周周期期公公式式，解解题题时时可可以直接应用以直接应用.作业：作业：P36P36练习：练习：1 1，2 2，3.3.1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第二课时第二课时问题提出问题提出1.1.周期函数是怎样定义的？周期函数是怎样定义的？对对于于函函数数f(xf(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使使得得当当x x取取定定义义域域内内的的每每一一个个值值时时，都都有有f(xf(x +T)=+T)=f(xf(x),),那那么么函函数数f(xf(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T T就就叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期.2.2.正正、余余弦弦函函数数的的最最小小正正周周期期是是多多少少？函数？函数 和和 的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？3.3.周周期期性性是是正正、余余弦弦函函数数所所具具有有的的一一个个基基本本性性质质，此此外外，正正、余余弦弦函函数数还还具具有有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思思考考1 1：观观察察下下列列正正弦弦曲曲线线和和余余弦弦曲曲线线的的对称性，你有什么发现？对称性，你有什么发现？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=y=sinxsinxxyO1-1y=y=cosxcosx思思考考2 2：上上述述对对称称性性反反映映出出正正、余余弦弦函函数数分分别别具具有有什什么么性性质质？如如何何从从理理论论上上加加以以验证？验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.思思考考3 3：观观察察正正弦弦曲曲线线，正正弦弦函函数数在在哪哪些些区区间间上上是是增增函函数数？在在哪哪些些区区间间上上是是减减函函数？如何将这些单调区间进行整合？数？如何将这些单调区间进行整合？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=y=sinxsinx正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数.思思考考4 4：类类似似地地，余余弦弦函函数数在在哪哪些些区区间间上上是增函数？在哪些区间上是减函数？是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数.xyO1-1y=y=cosxcosx思思考考5 5：正正弦弦函函数数在在每每一一个个开开区区间间（2k2k，2k2k）(kZkZ)上上都都是是增增函函数数，能能否否认认为为正正弦弦函函数数在在第第一一象象限限是是增增函数？函数？探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 思思考考1 1：观观察察正正弦弦曲曲线线和和余余弦弦曲曲线线，正正、余余弦弦函函数数是是否否存存在在最最大大值值和和最最小小值值？若若存在，其最大值和最小值分别为多少？存在，其最大值和最小值分别为多少？思思考考2 2：当当自自变变量量x x分分别别取取何何值值时时，正正弦弦函数函数y=y=sinxsinx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？正正弦弦函函数数当当且且仅仅当当 时时取取最最大大值值1,1,当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1-1 思思考考3 3：当当自自变变量量x x分分别别取取何何值值时时，余余弦弦函数函数y=y=cosxcosx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？余余弦弦函函数数当当且且仅仅当当 时时取取最最大大值值1,1,当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1.-1.思思考考4 4：根根据据上上述述结结论论，正正、余余弦弦函函数数的的值值域域是是什什么么？函函数数y=y=AsinxAsinx（A0A0）的值域是什么？的值域是什么？思思考考5 5：正正弦弦曲曲线线除除了了关关于于原原点点对对称称外外，是否还关于其它的点和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？正弦曲线关于点正弦曲线关于点（kk，0 0）和直线和直线 对称对称.-|A|-|A|，|A|A|思思考考6 6：余余弦弦曲曲线线除除了了关关于于y y轴轴对对称称外外，是否还关于其它的点和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？余余弦弦曲曲线线关关于于点点 和和直直线线x=x=kk对称对称.理论迁移理论迁移 例例1 1 求求下下列列函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值，并并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1）y=y=cosxcosx1 1，xRxR；（2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xRxR.例例3 3 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间.例例2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小:小结作业小结作业 1.1.正正、余余弦弦函函数数的的基基本本性性质质主主要要指指周周期期性性、奇奇偶偶性性、单单调调性性、对对称称性性和和最最值值，它它们们都都是是结结合合图图象象得得出出来来的的，要要求求熟熟练练掌握掌握.2.2.正正弦弦函函数数是是奇奇函函数数，余余弦弦函函数数是是偶偶函函数数.一一 般般 地地，y=y=AsinxAsinx是是 奇奇 函函 数数，y=y=AcosxAcosx（A0A0）是偶函数）是偶函数.作业：作业：P40-41P40-41练习：练习：1 1，2 2，3 3，5 5，6.6.3.3.正正、余余弦弦函函数数有有无无数数个个单单调调区区间间和和无无数数个个最最值值点点，简简单单复复合合函函数数的的性性质质应应转转化为基本函数处理化为基本函数处理.1.4.3 1.4.3 正切函数的图象与性质正切函数的图象与性质 问题提出问题提出1.1.正正、余余弦弦函函数数的的图图象象是是通通过过什什么么方方法法作出的？作出的？2.2.正正、余余弦弦函函数数的的基基本本性性质质包包括括哪哪些些内内容？这些性质是怎样得到的？容？这些性质是怎样得到的？3.3.三三角角函函数数包包括括正正、余余弦弦函函数数和和正正切切函函数数，我我们们已已经经研研究究了了正正、余余弦弦函函数数的的图图象象和和性性质质，因因此此,进进一一步步研研究究正正切切函函数数的性质与图象就成为学习的必然的性质与图象就成为学习的必然.知识探究（一）：正切函数的性质知识探究（一）：正切函数的性质思思考考1 1：正正切切函函数数的的定定义义域域是是什什么么？用用区区间如何表示？间如何表示？思思考考2 2：根根据据相相关关诱诱导导公公式式，你你能能判判断断正正切切函函数数是是周周期期函函数数吗吗？其其最最小小正正周周期期为为多少？多少？正切函数是周期函数，周期是正切函数是周期函数，周期是.思思考考3 3：函函数数 的的周周期期为为多多少少？一般地，函数？一般地，函数 的周期是什么？的周期是什么？思思考考4 4：根根据据相相关关诱诱导导公公式式，你你能能判判断断正正切函数具有奇偶性吗？切函数具有奇偶性吗？正切函数是奇函数正切函数是奇函数思考思考5 5：观察下图中的正切线，当角观察下图中的正切线，当角x x在在 内内增增加加时时，正正切切函函数数值值发发生生什么变化？由此反映出一个什么性质？什么变化？由此反映出一个什么性质？T T1 1OxyA AT T2 2O思思考考6 6：结结合合正正切切函函数数的的周周期期性性，正正切切函数的单调性如何？函数的单调性如何？正切函数在开区间正切函数在开区间 都是增函数都是增函数 思思考考7 7：正正切切函函数数在在整整个个定定义义域域内内是是增增函函数数吗吗？正正切切函函数数会会不不会会在在某某一一区区间间内内是是减函数？减函数？思思考考8 8：当当x x大大于于 且且无无限限接接近近 时时，正正切值如何变化？当切值如何变化？当x x小于小于 且无限接近且无限接近 时时,正正切切值值又又如如何何变变化化？由由此此分分析析，正切函数的值域是什么正切函数的值域是什么?正切函数的值域是正切函数的值域是R.R.T T1 1OxyA AT T2 2O知识探究（一）：正切函数的图象知识探究（一）：正切函数的图象思思考考1 1：类类比比正正弦弦函函数数图图象象的的作作法法，可可以以利用正切线作正切函数在区间利用正切线作正切函数在区间 的图象，具体应如何操作？的图象，具体应如何操作？Oxy思思考考2 2：上上图图中中,直直线线 和和 与与正正切切函函数数的的图图象象的的位位置置关关系系如如何何？图图象象的的凸向有什么特点？凸向有什么特点？思思考考3 3：结结合合正正切切函函数数的的周周期期性性,如如何何画画出正切函数在整个定义域内的图象？出正切函数在整个定义域内的图象？yOx思思考考4 4：正正切切函函数数在在整整个个定定义义域域内内的的图图象象叫叫做做正正切切曲曲线线.因因为为正正切切函函数数是是奇奇函函数数，所所以以正正切切曲曲线线关关于于原原点点对对称称，此此外外，正正切切曲曲线线是是否否还还关关于于其其它它的的点点和和直直线线对对称称？正切曲线关于点正切曲线关于点 对称对称.思思考考5 5：根根据据正正切切曲曲线线如如何何理理解解正正切切函函数数的的基基本本性性质质？一一条条平平行行于于x x轴轴的的直直线线与与相相邻两支曲线的交点的距离为多少？邻两支曲线的交点的距离为多少？理论迁移理论迁移 例例1 1 求求函函数数 的的定定义义域域、周期和单调区间周期和单调区间.例例2 2 试试比比较较tan8 tan8 和和tan(tan()的的大小大小.例例3 3 若若 ，求求x x 的的取取值值范范围围.小结作业小结作业 1.1.正正切切函函数数的的图图象象是是被被互互相相平平行行的的直直线线所所隔隔开开的的无无数数支支相相同同形形状状的的曲曲线线组组成成,且且关关于于点点 对对称称,正正切切函函数数的的性性质质应应结合图象去理解和记忆结合图象去理解和记忆.2.2.正正切切曲曲线线与与x x轴轴的的交交点点及及渐渐近近线线,是是确确定定图图象象形形状状、位位置置的的关关键键要要素素,作作图图时时一一般先找出这些点和线般先找出这些点和线,再画正切曲线再画正切曲线.3.3.研究正切函数问题时研究正切函数问题时,一般先考察一般先考察 的情形的情形,再拓展到整个定义域再拓展到整个定义域.作业作业:P45:P45练习练习:2 2，3 3，4 4，6.6.三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 习题课习题课 例例1 1 求下列函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域:(1)(1)；(2).(2).例例2 2 已知函数已知函数 的的最最小小正正周周期期为为，当当 时时，求求f(xf(x)的最大的最大值值和最小和最小值值.例例3 3 确定下列函数的奇偶性：确定下列函数的奇偶性：（1 1）；（2 2）.例例4 4 已知函数已知函数 在区间在区间 上是减函数，求上是减函数，求a a的取值范围的取值范围.例例6 6 已知函数已知函数f(xf(x)=cos)=cos2 2x+sinx+ax+sinx+a，若若对对任任意意xRxR都都有有 成成立立，求求实实数数a a的取值范围的取值范围.例例5 5 把函数把函数 的图象向的图象向右平移右平移a a个单位得曲线个单位得曲线C C，若曲线，若曲线C C关于直关于直线线 对称，求对称，求a a的最小值的最小值.作业作业:P46P46习题习题1.4A1.4A组组:2 2，10.10.P47P47习题习题1.4B1.4B组组:1 1，2.2.