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三角函数的图像与性质
【要点透析】
一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质
函数
x
-π
π
2π
0
y

x
π
y
-π
0

图象

y
-π
π
x
0

定义域

值域

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；为减；
为减；为增；
为增；
对称中心

对称轴

无

二、函数的性质
（１）定义域：Ｒ； （２）值域：；
（３）周期性：；
（４）奇偶性：当时，为奇函数；当时为偶函数；
（５）单调性：函数的单调增区间可由解得；单调减区间可由解得．
（６）对称中心：函数的对称中心的横坐标可由解得，纵坐标为０．
（７）对称轴：函数的对称轴方程可由解得．
三、三角函数图像的平移和伸缩：水平只针对à左加右减，伸缩就除；竖直à上加下减，伸缩就乘。

【常考题型总结】
题型一、三角函数图像、定义域、值域
例1、作函数的图象． 变式、作函数的图像

例2、求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）．

例3、求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1），； （2），．

变式、求下列函数的值域：（1）； （2）；(3)

课堂作业1、（1）；（2）；(3)

2、已知函数。⑴求函数的最小值；⑵试确定满足的的值；
⑶当取⑵中的值时，求的最大值

题型二、三角函数周期
例1、求下列函数周期：（1），；（2），；（3），．

变式、函数与的最小正周期分别是

课堂作业
（1），； （2），； （3），；

（4），； （5），； （6），．

题型三、奇偶性

例1、判断下列函数的奇偶性：
（１）；（２）；（３）；　（４）

变式、函数是奇函数还是偶函数
例2、已知函数＝为偶函数，则

题型四、三角函数单调性
例1、函数的递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
变式1、函数，的单调递增区间是________________
变式2、的单调递增区间是
课堂作业1、在下列区间中,是函数的一个递增区间的是 （ 　）
A． B． C． D．
2、函数的最小值是 ．
3、求函数的定义域、周期和单调区间．

题型五、三角函数对称性
例1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
例2、函数的图像关于（ ）
A、轴对称 B、轴对称 C、原点对称 D、直线对称
变式1、函数的对称轴是_____________，对称中心是______________。
2、若函数的图像关于原点成中心对称图形，则
课堂作业
1、给定性质: ①最小正周期为; ②图象关于直线对称, 则下列四个函数中, 同时具有性质①、②的是( ) A. B. C. D.
2、函数的图像关于( )
A．原点成中心对称 B．轴成轴对称图形 C．直线成轴对称图形 D．直线成轴对称图形
3、函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是

题型六、零点问题
1、从函数，图像看，对应于的个数是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、方程的实数解个数（ ）
A、 B、 C、 D、无穷多
3、方程解的个数为 ；4、的根的个数

题型七、三角函数平移
例1、为了得到函数，的图像，只需把函数，的图像（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
例2、要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
例3、函数的图像可以通过将的图像向左平移个单位长度得到，那么的最小值等于（ ） A、 B、 C、 D、
课堂作业1、将函数的图象作怎样的变换可得到的图象

题型八、求解析式
例1、已知函数的图像关于直线对称，则的一个值是（ ）
A、 B、 C、 D、
例2、若函数具有性质：（1）为偶函数；（2）对任意，都有，则函数的解析式可以是（ ）
A、 B、 C、 D、
例3、已知最小图像，求表达式

课堂作业1、已知函数（，）的图像如图所示，则

【综合作业】
1、下列说法正确的是(填上你认为正确的所有命题的代号)______________．
①函数是奇函数．
②函数关于点(,0)对称．
③函数的最小正周期是．
④函数的图象的一条对称轴方程是．
2、已知函数y=sin(2x+)+.,x∈R.
(1) 用五点法作出它一个周期内的简图；
(2) 求的最小正周期，单调递减区间，对称轴和对称中心；
(3) 该函数的图象是由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？

y
x
O
３
－３

3、是函数的图象，(1)确定、、的值并求函数解析式；(2) 设，求的值域和单调递增区间．

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