三角函数图像及性质-图像变换习题.doc

(完整版)三角函数图像及性质,图像变换习题
考点测试20　三角函数的图象和性质
一、基础小题
1．已知f(x)＝sin，g(x）＝cos,则f(x）的图象(　　）
A．与g(x）的图象相同 B．与g（x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到g（x)的图象 D．向右平移个单位，得到g(x)的图象
解析　因为g(x)＝cos＝cos＝sinx，所以f(x)向右平移个单位，可得到g(x）的图象，故选D.
2．函数y＝＋sinx－1的值域为(　　）
A．［－1，1］ B． C． D．
答案　C解析　
（数形结合法)y＝＋sinx－1,令sinx＝t,则有y＝t2＋t－1，t∈[－1，1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值,代入y＝t2＋t－1可得y∈.
3．函数y＝2sin(x∈[－π，0]）的单调递增区间是(　　）
A． B． C． D．
答案　C解析　因为y＝2sin＝－2sin，所以函数y＝2sin的单调递增区间就是函数y＝sin的单调递减区间．由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z），解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z）,即函数y＝2sin的单调递增区间为（k∈Z)，又x∈[－π，0］,所以k＝－1，故函数y＝2sin（x∈［－π，0]）的单调递增区间为.
4．使函数f(x）＝sin（2x＋φ）为R上的奇函数的φ的值可以是（　　)
A． B． C．π D．
答案　C解析　若f(x)是R上的奇函数，则必须满足f(0）＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ（k∈Z），故选C。
5．已知函数f(x）＝sin，其中x∈,若f(x）的值域是，则a的取值范围是（　　)
A． B． C． D．
解析　若－≤x≤a，则－≤x＋≤a＋。因为当x＋＝－或x＋＝时，sin＝－,当x＋＝时，sin＝1,所以要使f（x）的值域是，则有≤a＋≤,即≤a≤π，即a的取值范围是。故选D.
二、高考小题
6．[2015·全国卷Ⅰ]函数f（x)＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　)
A．，k∈Z B。,k∈Z

C．，k∈Z D.,k∈Z
D解析　由题图可知＝－＝1，所以T＝2。结合题图可知,在（f(x）的一个周期）内,函数f（x）的单调递减区间为。由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x）的单调递减区间为，k∈Z,故选D.
7．［2015·四川高考]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　)
A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx
答案　A解析　选项A，y＝cos＝－sin2x,符合题意，故选A.
三、模拟小题
8．[2016·广州调研］函数f（x)＝sinx＋在区间［0，＋∞）内(　　）
A．没有零点B．有且仅有1个零点C．有且仅有2个零点D．有且仅有3个零点
答案　B解析　在同一坐标系中画出函数y＝sinx与y＝－的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，∴函数f(x）＝sinx＋在区间[0，＋∞）内有且仅有1个零点．
9．［2017·河北邢台调研］已知定义在R上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx时，f（x)＝cosx，当sinx>cosx时,f（x)＝sinx。
给出以下结论:
①f(x)是周期函数；②f(x）的最小值为－1；③当且仅当x＝2kπ（k∈Z)时,f（x)取得最小值；
④当且仅当2kπ－<x〈(2k＋1)π(k∈Z）时，f(x)〉0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________．
答案　①④⑤解析　易知函数f（x）是周期为2π的周期函数．函数f（x）在一个周期内的图象如图所示．
由图象可得，f(x)的最小值为－,当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－〈x<(2k＋1)π(k∈Z）时,f(x)>0；f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π。所以正确的结论的序号是①④⑤。
四、模拟大题
10．[2017·江西上饶模拟]设函数f（x）＝sin(2x＋φ)（－π<φ〈0），y＝f（x)图象的一条对称轴是直线x＝.
（1）求φ的值；（2)求函数y＝f（x)的单调递增区间．
解　（1)由f＝±1得sin＝±1，∵－π<φ〈0，∴〈φ＋<，∴φ＋＝－，φ＝－。
（2）由（1)得f(x）＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z。因此y＝f（x)的单调增区间为,k∈Z。

　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象和性质

一、 基础小题
1．将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是(　　）
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
答案　B解析　将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y＝sinx，再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝sin＝sin。故选B.
2．要得到函数y＝sin的图象,只需将函数y＝sin4x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
答案　B解析　y＝sin＝sin，故要将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．故选B。
3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　)
A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx
答案　A解析　采用验证法．由y＝cos＝－sin2x，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.
4．函数f(x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则函数f(x）的解析式为（　　）
A．f(x）＝sinB．f（x)＝sinC．f(x）＝sinD．f(x)＝sin 答案　A解析　由题图可知，函数y＝f（x）的最小正周期为T＝＝×4＝π，所以ω＝2，又函数f(x）的图象经过点，所以sin＝1,则＋φ＝2kπ＋(k∈Z),解得φ＝2kπ＋,又|φ｜<,所以φ＝，即函数f（x）＝sin，故选A。
5．函数y＝2sin（0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　）
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
答案　A解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1,∴－≤2sin≤2,
∴函数y＝2sin（0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－。
6．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x）＝sin(ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
答案　A解析　由题意可知函数f（x）的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f（x)＝sin（x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋

(k∈Z），将x＝代入可得φ＝kπ＋（k∈Z），∵0〈φ<π,∴φ＝。
7．已知函数f(x）＝sin(ω>0）的最小正周期为4π，则(　　）
A．函数f(x）的图象关于点对称 B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称 D．函数f（x)在区间（0，π）内单调递增
答案　C解析　因为函数的周期T＝＝4π，所以ω＝，所以f(x）＝sin。当x＝时，f＝sin＝sin＝，所以A、B错误．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，关于原点对称，所以C正确．由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ（k∈Z）,所以f（x)＝sin的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，增区间为,所以D错误．故选C。
8．已知函数f（x)＝2sin（ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f＝________.
答案　±2解析　函数f（x）＝2sin（ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则其对称轴为x＝,所以f＝±2。
二、高考小题
9．［2016·全国卷Ⅱ］若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋（k∈Z) C．x＝－（k∈Z) D．x＝＋(k∈Z）
答案　B解析　将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝2sin＝2sin的图象，由2x＋＝kπ＋（k∈Z),可得x＝＋（k∈Z)．则平移后图象的对称轴为x＝＋（k∈Z),故选B。
10．［2016·北京高考]将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s〉0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上,则(　　)
A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为
答案　A解析　点P在函数y＝sin的图象上，∴t＝sin＝.
函数y＝sin的图象向左平移个单位长度即可得到函数y＝sin2x的图象，故s的最小值为.
11．［2016·福州一中模拟］已知函数f（x）＝Asin(ωx＋φ）
的部分图象如图所示，为了得到函数g(x）＝Asinωx的图象，只需要将y＝f（x)的图象（　　)
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案　D解析　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A〉0，ω〉0，|φ｜〈的部分图象，可得A＝2，＝·＝－,求
得ω＝2.再根据五点法作图可得2·＋φ＝,求得φ＝，∴f（x）＝2sin,g(x）＝2sin2x,故把f（x）＝2sin的图象向右平移个单位长度，可得g（x)＝2sin＝2sin2x的图象,故选D.
三、高考大题
12．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f（x)＝Asin(ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据,如下表：

ωx＋φ
0

π

2π
x

Asin（ωx＋φ)
0
5

－5
0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
（2）将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0）个单位长度,得到y＝g(x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解　（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.
数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

π
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0

且函数表达式为f（x）＝5sin。
(2）由(1）知f（x）＝5sin，则g（x)＝5sin。因为函数y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z。由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，k∈Z,解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.