三角函数的图像与性质知识点及习题.doc

三角函数的图象与性质
基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)　　(π，0)　　(2π，0)
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
2.三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：__ x＝kπ＋(k∈Z)__ _；
对称中心：
_ (kπ，0)(k∈Z)__ _
对称轴：
x＝kπ(k∈Z)___；
对称中心：
_(kπ＋，0) (k∈Z)__
对称中心：_ (k∈Z) __
周期
2π_
　2π　
π
单调性
单调增区间_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)___；
单调减区间[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z) __
单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) ____；
单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______

单调增区间_(kπ－，kπ＋)(k∈Z)___
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
对函数周期性概念的理解
周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .

4.求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.
5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)y＝sin；(2)y＝sin.
热身练习:
1．函数y＝cos，x∈R(　　)．
A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2．函数y＝tan的定义域为(　　)．
A. B.
C. D.
3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是( )
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
【解析】令2x＋＝kπ＋，则x＝＋(k∈Z)
∴当k＝0时，x＝，选D.
4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．
A．(－π，0) B. C. D.
解析　∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.
答案　B
5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是 (　　)
A.(0，π)　　　　　 B. 　 C. D.
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
【解析】当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝±1
可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，k∈Z
∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ
∴sinφ<0 ∴φ＝2kπ－
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ 得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，选C.

7.函数f(x)＝cosx∈R的最小正周期为___4π_____．
8..y＝2－3cos的最大值为___5_____，此时x＝_____π＋2kπ，k∈Z _________.
9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实数
－1≤a≤0.
10．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是 .
【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋
＝sin(2x－)＋，
又≤x≤，∴≤2x－≤. ∴当2x－＝即x＝时，f(x)取最大值.

题型一　与三角函数有关的函数定义域问题
例1　求下列函数的定义域：
(1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝.
解　(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)>0.
∵－1≤cos x≤1，∴0<cos x≤1.
利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0<OM≤1，
∴OM只能在x轴的正半轴上，
∴其定义域为 {x|－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}.
(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以定义域为.
变式训练1 (1)求函数的定义域；
解　(1)要使函数有意义，则
⇒
图①
如图①利用单位圆得：
∴函数的定义域为{x|2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z}.
(2)求函数的定义域.
要使函数有意义
则⇒
利用数轴可得图②
图②
∴函数的定义域是{x|0<x<或π≤x≤4}.

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换
例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？
【解析】(1)y＝f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)
2x＋
0

π

2π
x
－

y
0
2
0
－2
0
∴函数y＝f(x)在[－，]上的图象如图所示．

【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；
②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．

题型三 三角函数图象与解析式的相互转化

例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在
x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

【解析】(1)由图可知A＝2，＝，则＝4× ∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0
∴sin(φ－)＝0
∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝
∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)
∵x∈[－，] ∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.
【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②K的确定：根据图象的最高点和最低点，即K＝；
③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
例4若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．
【解析】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]，
作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]内的图象如图．

由图象可知，当1＜a＜2或－2＜a＜1时，
直线y＝a与y＝2sin(x＋)有两个交点，
故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．
当1＜a＜2时，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝.
当－2＜a＜1时，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝.
【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．
例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥且x∈[0，π]的实数x的取值范围．
【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，－2)，得A＝2，
由x轴上相邻两个交点间的距离为，得＝，即T＝π，
∴ω＝＝2.又点M(，－2)在图象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1，
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，
又φ∈(0，)，∴φ＝.综上可得f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，
得到f1(x)＝2sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的图象，
然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.
由得.
则即.
故≤x≤ 或 ≤x≤.
题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用
例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
【解析】(1)由coscosφ－sinsinφ＝0 得cos(＋φ)＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.
(2)由已知得＝，∴T＝，ω＝3 ∴f(x)＝sin(3x＋)．
设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)，
则g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋)
g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)
即m＝＋(k∈Z) ∴最小正实数m＝.

题型五　三角函数的单调性与周期性
例2　写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
解　(1)y＝sin，
它的增区间是y＝sin的减区间，它的减区间是y＝sin的增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的减区间为，k∈Z；
增区间为，k∈Z.最小正周期T＝＝π.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，k∈Z，减区间是
，k∈Z.最小正周期：T＝π.

探究提高　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.
列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).
(2)对于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈，解出x的取值范围，即为其单调区间.
(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.
变式训练2 (1)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值；
(2)已知函数f(x)＝4cos xsin－1.
①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解: y＝sin＋cos

(1)周期为T= 　
函数的递增区间为 (k∈Z)；
函数的递减区间为(k∈Z)
ymax＝2； ymin＝－2
(2) f(x)＝4cos xsin－1
, 最大值为2；最小值为－1

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用
例2已知向量＝(sin2x－1，cosx)， ＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝，x∈R.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间．

【解析】(1)f(x)＝m·n＝sin2x－1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)
∴对称轴方程为：2x＋＝kπ＋，即x＝＋(k∈Z)．
(2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
【点评】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：
①若求y＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x；
若求y＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x；
②若求y＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x；
若求y＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x.

题型七　三角函数的对称性与奇偶性
例3　(1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) 的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________.
(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A . B. C. D.
　(1)　
(x)＝2sin， y＝f(x＋φ)＝2sin图象关于x＝0对称，
即f(x＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝.
(2)A
3cos＝3cos＝3cos
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值为.故选
探究提高　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值.
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.
如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可.
变式训练3 　(1)已知函数f(x)＝sinx＋acos x的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asin x＋cos x的最大值是 (　　)
A. B. C. D.
由题意得f(0)＝f ，∴a＝－－.
∴a＝－, g(x)＝－sin x＋cos x＝sin，
∴g(x)max＝.

(2)若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝，函数f′(x)的图象的一个对称中心是，则f(x)的最小正周期是________.
　(1)B　(2)π
由题设，有＝±，即(a＋b)＝±，由此得到a＝b.
又，所以aω＝0，
从而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2，
于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝asin
故f(x)的最小正周期是π.

题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用
例3(1)求函数y＝的值域；
(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值；
(3)若函数f(x)＝－asin·cos(π－)的最大值为2，试确定常数a的值．
【解析】
＝2sinx(1－sinx)＝2sinx－2sin2x＝－2(sinx－)2＋.
∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤.
故函数y＝的值域为(－4，]．
(2)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝，且|t|≤.
∴y＝(t2－1)＋t＝(t＋1)2－1，
∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝时，ymax＝＋.
(3)f(x)＝＋asincos＝cosx＋sinx
＝sin(x＋φ)，(其中tanφ＝)
由已知得＝2，解得a＝±.

【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．
(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用辅角化为y＝sin(x＋φ)(其中tanφ＝)．
(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C.
(3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可换元转化为二次函数．
(4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型，可换元转化．
(5)y＝(或y＝)型，可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．
(6)y＝型，可用斜率公式来解决．
例4已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且是函数y＝f(x)的一个零点．
(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．
【解析】(1)由是y＝f(x)的零点得 f()＝sin＋acos2＝0，求解a＝－2，
则f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，
故f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，则－≤sin(2x－)≤1，
因此－2≤sin(2x－)－1≤－1，故当x＝0时，f(x)取最小值－2，
当x＝时，f(x)取最大值－1.
设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，]上的最大值和最小值．
【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x
由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为增函数．
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为减函数．
∴f(x)在[，]上的最大值为f()＝2 又∵f()＝，f()＝
∴f(x)在[，]上的最小值为f()＝.

题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

例题：已知函数f(x)＝－2asin＋2a＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值.
(2)若 a＞0，设g(x)＝f 且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
点评　①求出2x＋的范围，求出sin(2x＋)的值域.②系数a的正、负影响着f(x)的值，因而要分a>0，a<0两类讨论.③根据a>0或a<0求f(x)的最值，列方程组求解.
解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f ＝－4sin－1＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，
∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
三角函数的图象与性质练习一
一、选择题
1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
【解析】f(x)＝sin2x
f(x)在(，)上是递减的，A错； f(x)的最小正周期为π，C错；
f(x)的最大值为1，D错；选B.
2．若α、β∈(－，)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】α、β∈(－，)，tanx在此区间上单调递增．
当α＜β时，tanα＜tanβ；当tanα＜tanβ时，α＜β.故选C.
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象( )
A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称
【解析】由已知得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)
设平移后的函数为g(x)，则g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且为奇函数
∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－)
∴图象关于直线x＝对称，选B.
4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是( )
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]

【解析】设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点(，0)对称的点为(－x，－y)，
由题意知该点必在f(x)的图象上．∴－y＝sin(－x)，
即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由已知得sinx≤－cosx⇒sinx＋cosx
＝sin(x＋)≤0又x∈[0,2π] ∴≤x≤.

5．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若对任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，则g()＝____.
【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f(x)关于直线x＝对称，∴sin(ω·＋φ)＝±1.
∴g()＝3cos(ω·＋φ)＝3＝0.
6．设函数f(x)＝2sin(＋)，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x2－x1|的最小值为____.
【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”，可得f(x1)、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值．
∴|x2－x1|的最小值为函数f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2.
7．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－sin(x－)
∴y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，] ∴sin(2x＋)∈[－，1]，
∴函数F(x)的值域为[0,1＋]．
8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若0＜α＜，且g(x)是偶函数，求α的值．

【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)g(x)＝f(x＋α)＝sin[2(x＋α)＋]＝sin(2x＋2α＋)，
g(x)是偶函数，则g(0)＝±＝sin(2α＋)，
∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)，
∵ 0＜α＜，∴α＝.
三角函数的图象与性质练习二
1.函数f(x)＝sin图象的对称轴方程可以为 (　　)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝
解析　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝.本题也可用代入验证法来解．答案　D
2.y＝sin的图象的一个对称中心是 (　　)
A.(－π，0) B. C. D.
3.函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是 (　　)
A. B.－ C. D.
二、填空题
4.函数y＝lg(sin x)＋的定义域为____(k∈Z)_________.
5.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是_______________.
4．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．
解析　因为f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.
答案　
6.关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称.
其中正确命题的序号是___________.②③
解析　函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．
利用诱导公式得f(x)＝4cos＝
4cos＝4cos，知②正确．
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin＝4sin 0＝0，
因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
答案　②③
三、解答题
7.设函数f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.
解　(1)－
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为
，k∈Z.

8.(1)求函数y＝2sin (－<x<)的值域；
(2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域.
解　(1)∵－<x<，∴0<2x＋<，∴0<sin≤1，
∴y＝2sin的值域为(0,2].
(2)y＝2cos2x＋5sin x－4＝2(1－sin2x)＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－22＋.
∴当sin x＝1时，ymax＝1，当sin x＝－1时，ymin＝－9，
∴y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1].

三角函数的图象与性质练习三
一、选择题
1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ 时，f(x)＝sin x，则 f 的值为 (　　)
A.－ B. C.－ D.
2.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A. B. C.2 D.3
3.函数f(x)＝cos 2x＋sin是 (　　)
A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数
C.仅有最大值的偶函数 D.有最大值又有最小值的偶函数
二、填空题
4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为___________.
5.函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω＝___________.
解析　因为f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案　
6.给出下列命题：
①函数y＝cos是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝；
③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴； ⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形.
其中正确的序号为___________.
三、解答题
7.若函数f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax (a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列. (1)求m的值；
(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标.
7.解　(1)f(x)＝(1－cos 2ax)－sin 2ax
＝－(sin 2ax＋cos 2ax)＋
＝－sin＋.
∵y＝f(x)的图象与y＝m相切，
∴m为f(x)的最大值或最小值，
即m＝或m＝.
(2)∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期为.
T＝＝，a>0，∴a＝2，
即f(x)＝－sin＋.
由题意知sin＝0，则4x0＋＝kπ (k∈Z)，∴x0＝－ (k∈Z).
由0≤－≤ (k∈Z)得k＝1或2，
因此点A的坐标为，.
三角函数的图象与性质练习四
一、选择题
1．函数f(x)＝2sin xcos x是(　　)．
A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
解析　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．
答案　C
2．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)．
A．[－1,1] B. C. D.
解析　(数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，
函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
答案　C
3．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)．
A. B. C．2 D．3
解析　由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.
答案　B
4．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为(　　)．
A．2π B. C．π D.
解析　依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期为2π.
答案　A
5．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)．
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析　(筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在上是减函数，∴排除B. 答案　A
【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.
6．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)．
A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数
解析　∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．
答案　D

二、 填空题
7.y=－|sin（x+）|的单调增区间为___［kπ+，kπ+］（k∈Z）_____.
8.要得到的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移___单位.
9.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为________.
10函数f(x)=() 的值域是_____[-1,0]___ __.
11.已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．
12、给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．
13．若函数f(x)＝cos ωxcos(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．
解析　f(x)＝cos ωxcos＝cos ωxsin ωx＝sin 2ωx，
∴T＝＝π.∴ω＝1. 答案　1
14．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是______．
解析　由2x＋＝kπ，k∈Z，得：x＝－，k∈Z，
故交点坐标为(k∈Z)． 答案　(k∈Z)
15．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为________．
解析　(回顾检验法)据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入