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三角函数的图像与性质练习题
正弦函数、余弦函数的图象
A组
1.下列函数图象相同的是(　　)
A.y=sin x与y=sin(x+π)
B.y=cos x与y=sinπ2-x
C.y=sin x与y=sin(-x)
D.y=-sin(2π+x)与y=sin x
解析:由诱导公式易知y=sinπ2-x=cos x,故选B.
答案:B
2.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3
解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.

答案:B
3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)

解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.
答案:B
4.已知cos x=-12,且x∈[0,2π],则角x等于(　　)
A.2π3或4π3 B.π3或2π3
C.π6或5π6 D.5π6或11π6
解析:如图:

由图象可知,x=2π3或4π3.
答案:A
5.当x∈[0,2π]时,满足sinπ2-x≥-12的x的取值范围是(　　)
A.0,2π3 B.4π3,2π C.0,2π3∪4π3,2π D.2π3,4π3
解析:由sinπ2-x≥-12,得cos x≥-12.
画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-12的图象,如图所示.

∵cos2π3=cos4π3=-12,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-12,可得x∈0,2π3∪4π3,2π.
答案:C
6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有　　　　个. 
解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.

答案:3
7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是　　　　　　　　　　. 
解析:画出y=cos x,x∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为0,π2∪3π2,2π

答案:0,π2∪3π2,2π
8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y=cos2x;⑤y=1-cos2x.其中与函数y=sin x图象形状完全相同的是　　　　　.(填序号) 
解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y=cos2x=|cos x|的图象和⑤y=1-cos2x=|sin x|的图象与y=sin x的图象形状不相同.
答案:①③
9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.
解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.

因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.
10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题.
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:
①y>0;②y<0.
(2)直线y=12与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点?
解:列表:
x
-π
-π2
0
π2
π
sin x
0
-1
0
1
0
-sin x
0
1
0
-1
0

描点作图:

(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);
②当y<0时,x∈(0,π).
(2)在简图上作出直线y=12,由图可知有两个交点.
B组
1.函数f(x)=x-cos x在[0,+∞)内(　　)
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
解析:数形结合法,令f(x)=x-cos x=0,则x=cos x.
设函数y=x和y=cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=x-cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.

答案:B
2.已知f(x)=sinx+π2,g(x)=cosx-π2,则f(x)的图象(　　)
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移π2个单位,得g(x)的图象
D.向右平移π2个单位,得g(x)的图象
解析:∵f(x)=sinx+π2=cos x,g(x)=cosx-π2=sin x,
∴f(x)的图象向右平移π2个单位,得g(x)的图象.
由y=sin x和y=cos x的图象知,A,B,C都错,D正确.
答案:D
3.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是(　　)
A.π4,π2∪π,5π4 B.π4,π
C.π4,5π4 D.π4,π∪5π4,3π2
解析:如图所示(阴影部分)时满足sin x>cos x.

答案:C
4.在[0,2π]内,不等式sin x<-32的解集是　　　　　. 
解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:

因为sinπ3=32,
所以sinπ+π3=-32,sin2π-π3=-32.即在[0,2π]内,满足sin x=-32的是x=4π3或x=5π3.可知不等式sin x<-32的解集是4π3,5π3.
答案:4π3,5π3
5.(2016·河南南阳一中期末)函数y=sinx+12-cosx的定义域是　　　　　. 
解析:由题意,得sinx≥0,12-cosx≥0,∴2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,2kπ+π3≤x≤2kπ+5π3,k∈Z,
∴2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函数y=sinx+12-cosx的定义域为π3+2kπ,π+2kπ,k∈Z.
答案:π3+2kπ,π+2kπ,k∈Z
6利用正弦曲线,写出函数y=2sin xπ6≤x≤2π3的值域是　　　　　. 

解析:y=2sin x的部分图象如图.
当x=π2时,ymax=2,
当x=π6时,ymin=1,
故y∈[1,2].
答案:[1,2]
7.画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出:
(1)y≥12时x的集合;
(2)-12≤y≤32时x的集合.
解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y=12在[0,2π]上与正弦曲线交于π6,12,5π6,12两点,在[0,2π]区间内,y≥12时x的集合为xπ6≤x≤5π6.当x∈R时,若y≥12,则x的集合为xπ6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z.

(2)过0,-12,0,32两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点7π6+2kπ,-12(k∈Z),11π6+2kπ,-12(k∈Z)和点π3+2kπ,32(k∈Z),2π3+2kπ,32(k∈Z),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-12≤y≤32时x的集合为x-π6+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z∪x2π3+2kπ≤x≤7π6+2kπ,k∈Z.

8.作出函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出y的取值范围;
(2)若函数图象与y=1-a2在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.
解:列表:
x
0
π2
π
3π2
2π
sin x
0
1
0
-1
0
2+sin x
2
3
2
1
2

描点、连线,如图.

(1)由图知,y∈[1,3].
(2)由图知,当2≤1-a2<3时,函数图象与y=1-a2在[0,π]上有两个交点,即-5<a≤-3.
故a的取值范围是(-5,-3].

正弦函数、余弦函数的性质(一)
A组
1.函数f(x)=-2sinπx+π3的最小正周期为(　　)

A.6 B.2π C.π D.2
解析:T=2ππ=2.
答案:D
2.下列函数中,周期为π2的是(　　)
A.y=sinx2 B.y=sin 2x
C.y=cosx4 D.y=cos(-4x)
解析:对D,y=cos(-4x)=cos 4x,
∴T=2π4=π2,故选D.
答案:D
3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sin2x-π2,x∈R,则f(x)是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
解析:因为f(x)=sin2x-π2=-cos 2x,所以f(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.
答案:B
4.已知函数f(x)=sin4x+π3,g(x)=sin3x+π6的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=(　　)
A.-32 B.-12 C.12 D.32
解析:由已知T1=2π4=π2,T2=2π3,∴sin(T1+T2)=sinπ2+2π3=sinπ+π6=-sinπ6=-12.
答案:B
5.(2016·浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=sinx,0≤x≤π,cosx,-π<x<0,则f-13π4=(　　)
A.22 B.-22
C.0 D.1
解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f-13π4=f-4π+3π4=f3π4.
又因为0≤3π4≤π,所以f-13π4=f3π4=sin3π4=22.
答案:A
6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于　　　　　对称. 
解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
答案:原点
7.函数y=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为23π,则ω=　　　　　. 
解析:∵y=sinωx+π4的最小正周期为T=2πω,
∴2πω=2π3,∴ω=3.
答案:3
8.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)=　　　　　. 
解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.
∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=0.
答案:0
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sin12x的奇偶性.
解:因为f(x)=cos(2π-x)-x3sin12x=cos x-x3sin12x的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin12(-x)=cos x-x3sin12x=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.若函数f(x)是以π2为周期的偶函数,且fπ3=1,求f-17π6的值.
解:∵f(x)的周期为π2,且为偶函数,
∴f-17π6=f-3π+π6=f-6×π2+π6=fπ6.而fπ6=fπ2-π3=f-π3=fπ3=1,∴f-17π6=1.
B组
1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是(　　)

解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.
答案:D
2.函数y=cosk4x+π3(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
解析:∵T=2πk4=8πk≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.
答案:D
3.将函数y=sin x的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称
D.y=f(x)的图象关于点-π2,0对称
解析:y=sin x的图象向左平移π2个单位,得y=f(x)=sinx+π2=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点kπ+π2,0(k∈Z)对称,当k=-1时,点为-π2,0,故D正确.综上可知选D.
答案:D
4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈-π2,0时,f(x)=cos x,则f-5π3=(　　)
A.12 B.32 C.-12 D.-32
解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f-5π3=f-2π3=fπ3.又f(x)是奇函数,∴fπ3=-f-π3=-cos-π3=-12.
答案:C
5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:
①fsin12<fcos12;②fsinπ3<fcosπ3;③f(sin 1)<f(cos 1).其中一定成立的是　　　　　.(填序号) 
解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,
∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,
∴f(x)在[0,1]上是减函数.
∵1>sinπ3>cosπ3>0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos12>sin12>0,∴fsinπ3<fcosπ3,f(sin 1)<f(cos 1),fsin12>fcos12.
答案:②③
6.已知函数y=12sin x+12|sin x|.
(1)画出这个函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
解:(1)y=12sin x+12|sin x|
=sinx,x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z),0,x∈[2kπ-π,2kπ)(k∈Z).
函数图象如图所示.

(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.
7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈0,π2时,f(x)=sin x.
(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;
(3)求当f(x)≥12时x的取值范围.
解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∵当x∈0,π2时,f(x)=sin x,∴当x∈-π2,0时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.
又当x∈-π,-π2时,x+π∈0,π2,f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.
(2)如图.

(3)∵在[0,π]内,当f(x)=12时,x=π6或5π6,
∴在[0,π]内,f(x)≥12时,x∈π6,5π6.
又f(x)的周期为π,∴当f(x)≥12时,x∈kπ+π6,kπ+5π6,k∈Z.
正弦函数、余弦函数的性质(二)
A组
1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是(　　)

A.-π4,π4 B.π4,3π4
C.π,3π2 D.3π2,2π
解析:画出y=|sin x|的图象即可求解.

故选C.
答案:C
2.(2016·福建三明一中月考)y=cosx2-π6(-π≤x≤π)的值域为(　　)
A.-12,12 B.[-1,1] C.-12,1 D.-12,32
解析:因为-π≤x≤π,所以-2π3≤x2-π6≤π3.所以-12≤cosx2-π6≤1,y=cosx2-π6(-π≤x≤π)的值域为-12,1.
答案:C
3.函数f(x)=3sinx+π6在下列区间内递减的是(　　)
A.-π2,π2 B.[-π,0]
C.-2π3,2π3 D.π2,2π3
解析:令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z可得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3,k∈Z,∴函数f(x)的递减区间为2kπ+π3,2kπ+4π3,k∈Z.从而可判断π2,2π3⊆π3,4π3,∴在x∈π2,2π3时,f(x)单调递减.
答案:D
4.函数f(x)=2sinωx-π6(ω>0)的最小正周期为4π,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为(　　)
A.xx=4kπ-2π3,k∈Z
B.xx=4kπ+2π3,k∈Z
C.xx=4kπ-π3,k∈Z
D.xx=4kπ+π3,k∈Z
解析:∵T=2πω=4π,∴ω=12.∴f(x)=2sin12x-π6.由12x-π6=2kπ-π2(k∈Z),得x=4kπ-2π3(k∈Z).
答案:A
5.已知函数f(x)=sinx-π2,x∈R,下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间0,π2上是增函数
C.函数f(x)的图象关于y轴对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:f(x)=sin-π2-x=-sinπ2-x=-cos x,
∴周期T=2π,∴选项A正确;
f(x)在0,π2上是增函数,∴选项B正确;
定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,
∴选项C正确,选项D错误.
答案:D
6.函数y=sin |x|+sin x的值域是　　　　　. 
解析:∵y=sin |x|+sin x=2sinx,x≥0,0,x<0,∴-2≤y≤2.
答案:[-2,2]
7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　　. 
解析:∵y=cos x在[-π,0]上为增函数,
又在[-π,a]上递增,∴[-π,a]⊆[-π,0].
∴a≤0.又∵a>-π,∴-π<a≤0.
答案:(-π,0]
8.若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω=　　　　　. 
解析:由题意知函数f(x)在x=π3处取得最大值,
∴ωπ3=2kπ+π2,ω=6k+32,k∈Z.
又0<ω<2,∴ω=32.
答案:32
9.已知函数f(x)=sin2ωx+π4(x∈R,ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)在0,π2上的值域,并求出取最小值时的x值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解:由已知得2π2ω=π,ω=1,∴f(x)=sin2x+π4.
(1)当x∈0,π2时,π4≤2x+π4≤5π4.
∴-22≤sin2x+π4≤1.∴f(x)值域为-22,1.
当2x+π4=5π4时,f(x)取最小值-22,
∴x=π2时,f(x)取最小值.
(2)令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).
∴f(x)的递增区间为kπ-3π8,kπ+π8(k∈Z).
10.已知函数f(x)=2asin2x+π6+a+b的定义域是0,π2,值域是[-5,1],求a,b的值.
解:∵0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6.
∴-12≤sin2x+π6≤1.
∴a>0时,b=-5,3a+b=1,解得a=2,b=-5.
a<0时,b=1,3a+b=-5,解得a=-2,b=1.
因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.
B组
1.若0<α<β<π4,a=2sinα+π4,b=2sinβ+π4,则(　　)
A.a<b B.a>b
C.ab<1 D.ab>2
解析:∵0<α<β<π4,∴π4<α+π4<β+π4<π2.
而正弦函数y=sin x在x∈0,π2上是增函数,
∴sinα+π4<sinβ+π4.
∴2sinα+π4<2sinβ+π4,即a<b.
答案:A
2.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asin x的最大值为(　　)
A.2a+1 B.2a-1
C.-2a-1 D.a2
解析:令sin x=t,则-1≤t≤1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.
∵a>1,∴当t=1时,ymax=12+2a×1=2a+1,故选A.
答案:A
3.函数y=cosπ4-2x的单调递增区间是(　　)
A.kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z
B.kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z
C.2kπ+π8,2kπ+5π8,k∈Z
D.2kπ-3π8,2kπ+π8,k∈Z
解析:函数y=cosπ4-2x=cos2x-π4,
令2kπ-π≤2x-π4≤2kπ,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,
故单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
答案:B
4.函数y=2sinπ3-x-cosπ6+x(x∈R)的最小值为　　　　　. 
解析:∵π3-x+π6+x=π2,
∴y=2sinπ2-π6+x-cosx+π6
=2cosx+π6-cosx+π6=cosx+π6.
∴ymin=-1.
答案:-1
5.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间-π3,π6上单调递增,则当ω取最大值时,函数f(x)=sin ωx的周期是　　　　　. 
解析:令2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2可得2kπω-π2ω≤x≤2kπω+π2ω,∴k=0时,f(x)在-π2ω,π2ω上递增.
又∵f(x)在-π3,π6上递增,
∴-π2ω≤-π3,π2ω≥π6,ω>0,解得0<ω≤32.
∴ω的最大值为32.∴周期T=2πω=4π3.
答案:4π3
6.对于函数f(x)=sinx,sinx≤cosx,cosx,sinx>cosx,给出下列四个命题:
①该函数是以π为最小正周期的周期函数;
②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;
③该函数的图象关于直线x=5π4+2kπ(k∈Z)对称;
④当且仅当2kπ<x<π2+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤22.
其中正确命题的序号是　　　　　. 
解析:画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象.
由图象知,函数f(x)的最小正周期为2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=3π2+2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值,为-1,故①②错误.
由图象知,函数图象关于直线x=5π4+2kπ(k∈Z)对称,在2kπ<x<π2+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤22,故③④正确.

答案:③④
7.已知函数y=sinπ3-2x.
(1)求函数的周期;
(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.
解:y=sinπ3-2x可化为y=-sin2x-π3.
(1)周期T=2πω=2π2=π.
(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,
所以x∈R时,y=sinπ3-2x的单调递减区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.
从而x∈[-π,0]时,y=sinπ3-2x的单调递减区间为-π,-7π12,-π12,0.
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)　　其中ω>0,|φ|<π2　　,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,且直线x=π6是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求ω的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈-π6,π3,求y=f(x)的值域.
解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,所以函数的周期T=π,所以ω=2ππ=2.
(2)因为直线x=π6是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×π6+φ=kπ+π2,k∈Z,φ=kπ+π6,k∈Z.
又|φ|<π2,所以φ=π6.
所以函数的解析式是y=sin2x+π6.
令2x+π6∈-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,
解得x∈kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
所以函数的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(3)因为x∈-π6,π3,所以2x+π6∈-π6,5π6.
所以sin2x+π6∈-12,1,
即函数的值域为-12,1.

正切函数的性质与图象
A组
1.当x∈-π2,π2时,函数y=tan |x|的图象(　　)

A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.没有对称轴
解析:∵x∈-π2,π2,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称.
答案:B
2.(2016·河北衡水二中月考)函数f(x)=tanπ4-x的单调递减区间为(　　)
A.kπ-3π4,kπ+π4,k∈Z
B.kπ-π4,kπ+3π4,k∈Z
C.kπ-π2,kπ+π2,k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
解析:因为f(x)=tanπ4-x=-tanx-π4,
所以原函数的单调递减区间就是函数y=tanx-π4的单调递增区间.
故kπ-π2≤x-π4≤kπ+π2,k∈Z,kπ-π4≤x≤kπ+3π4,k∈Z.所以原函数的单调递减区间是kπ-π4,kπ+3π4,k∈Z.
答案:B
3.函数f(x)=tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=π3所得线段长为2,则a的值为(　　)
A.π2 B.12 C.π D.1
解析:由已知得f(x)的周期为2,∴πa=2.∴a=π2.
答案:A
4.函数f(x)=tanx2-cosx的奇偶性是(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
解析:f(x)的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z,
∴f(-x)=tan(-x)2-cos(-x)=-tanx2-cosx=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
答案:A
5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈-3π2,3π2内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)

A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解析:y=tan(-x)=-tan x在-π2,π2上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.
答案:D
6.已知函数y=3tanωx+π6的最小正周期是π2,则ω=　　　　　. 
解析:由题意知,T=π|ω|=π2,∴ω=±2.
答案:±2
7.函数y=3tanx+π3的对称中心的坐标是　　　　　　　　　　. 
解析:由x+π3=kπ2,k∈Z,得x=kπ2-π3,k∈Z,
即对称中心坐标是kπ2-π3,0(k∈Z).
答案:kπ2-π3,0(k∈Z)
8.满足tanx+π3≥-3的x的集合是　　　　　　　　　　　　　　　. 
解析:把x+π3看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-π3≤x+π3<kπ+π2,k∈Z,解得kπ-2π3≤x<kπ+π6,k∈Z.故满足tanx+π3≥-3的x的集合是xkπ-2π3≤x<kπ+π6,k∈Z.
答案:xkπ-2π3≤x<kπ+π6,k∈Z
9.求函数y=tan4x-π4的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.
解:由4x-π4≠kπ+π2,得x≠kπ4+3π16,
∴所求定义域为xx≠kπ4+3π16,k∈Z,值域为R,周期T=π4.
又f3π16没有意义,
f-3π16=tan4×-3π16-π4=0,
∴f(x)是非奇非偶函数.
令-π2+kπ<4x-π4<π2+kπ,k∈Z,
解得kπ4-π16<x<kπ4+3π16,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间是kπ4-π16,kπ4+3π16(k∈Z),不存在单调递减区间.
10.已知函数f(x)=2tanωx+π4(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.
解:由题意知,函数f(x)的周期为2π,
则π|ω|=2π,由于ω>0,故ω=12.
所以f(x)=2tan12x+π4.
再由kπ-π2<12x+π4<kπ+π2,k∈Z,
得2kπ-3π2<x<2kπ+π2,k∈Z,
即函数f(x)的单调递增区间为2kπ-3π2,2kπ+π2,k∈Z.
11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4的值域.
解:∵-π4≤x≤π4,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4,
当t=1,即x=π4时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
B组
1.函数y=tan2xtanx的定义域为(　　)
A.x∈Rx≠kπ4,k∈Z
B.x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z
C.x∈Rx≠kπ+π4,k∈Z
D.x∈Rx≠kπ-π4,k∈Z
解析:由题意知tan2x有意义,tanx有意义,且tanx≠0,
即2x≠k'π+π2(k'∈Z),x≠kπ+π2,且x≠kπ(k∈Z),
得x≠k'π2+π4(k'∈Z),x≠kπ+π2,且x≠kπ(k∈Z),故x≠kπ4(k∈Z).
答案:A
2.函数f(x)=tanωx-π4与函数g(x)=sinπ4-2x的最小正周期相同,则ω=(　　)
A.±1 B.1 C.±2 D.2
解析:∵函数g(x)的周期为2π2=π,
∴π|ω|=π,∴ω=±1.
答案:A
3.设a=log12tan 70°,b=log12sin 25°,c=12cos25°,则有(　　)
A.a<b<c B.b<c<a
C.c<b<a D.a<c<b
解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=log12tan 70°<0.
又∵0<sin 25°<sin 30°=12,
∴b=log12sin 25°>log1212=1.
而c=12cos25°∈(0,1),∴b>c>a.
答案:D
4.已知函数y=tan ωx在-π2,π2内是减函数,则ω的取值范围为　　　　　. 
解析:由题意可知ω<0,又π2ω,-π2ω⊆-π2,π2.
故-1≤ω<0.
答案:-1≤ω<0

5.已知y=2tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则ω=　　　　　,φ=　　　　　. 
解析:由题图可知,当x=π4时,y=2,
即2tanπ4ω+φ=2,tanπ4ω+φ=1,
即π4ω+φ=kπ+π4(k∈Z).①
又直线x=3π8为它的一条渐近线,
∴3π8ω+φ=kπ+π2(k∈Z),②
而ω>0,|φ|<π2,由①②可得ω=2,φ=-π4.
答案:2　-π4
6.方程12x-tan x=0在x∈-π2,π2∪π2,3π2内的根的个数为　　　　　. 
解析:分别画出y=12x与y=tan x在x∈-π2,π2∪π2,3π2内的图象,如图.

易知y=12x与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.
答案:2
7.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是π4,0,其中0<φ<π2,试求函数f(x)的单调区间.
解:由于函数y=tan x的对称中心为kπ2,0,其中k∈Z,
则3π4+φ=kπ2,即φ=kπ2-3π4.
由于0<φ<π2,所以当k=2时,φ=π4.
故函数解析式为f(x)=tan3x+π4.
由于正切函数y=tan x在区间kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)上为增函数,则令kπ-π2<3x+π4<kπ+π2,
解得kπ3-π4<x<kπ3+π12,k∈Z,
故函数的单调增区间为kπ3-π4,kπ3+π12,k∈Z.
没有单调减区间.
8.设函数f(x)=tanx2-π3.
(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤3的解集;
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
解:(1)由x2-π3≠π2+kπ(k∈Z),得x≠5π3+2kπ,
∴f(x)的定义域是x∈Rx≠5π3+2kπ,k∈Z.
∵ω=12,∴周期T=πω=2π.
由-π2+kπ<x2-π3<π2+kπ(k∈Z),
得-π3+2kπ<x<5π3+2kπ(k∈Z).
∴函数f(x)的单调递增区间是
-π3+2kπ,5π3+2kπ(k∈Z).
(2)由-1≤tanx2-π3≤3,
得-π4+kπ≤x2-π3≤π3+kπ(k∈Z),
解得π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ(k∈Z).
∴不等式-1≤f(x)≤3的解集是xπ6+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z.
(3)令x2-π3=0,则x=2π3.
令x2-π3=π2,则x=5π3.
令x2-π3=-π2,则x=-π3.
∴函数y=tanx2-π3的图象与x轴的一个交点坐标是2π3,0,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-π3,x=5π3.从而得函数y=f(x)在区间-π3,5π3内的简图(如图所示).

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
A组
1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍,然后将图象沿x轴负方向平移π4个单位长度,得到的图象对应的解析式为(　　)

A.y=sin 2x B.y=-sin 2x
C.y=cos2x+π4 D.y=cos12x+π4
解析:y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象;
再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移π4个单位长度,就得到y=cos 2x+π4=cos2x+π2的图象.
即y=-sin 2x的图象.
答案:B
2.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π4
5π12
7π12
3π4
y
0
2
0
-2
0

则有(　　)
A.A=0,ω=π12,φ=0 B.A=2,ω=3,φ=π12
C.A=2,ω=3,φ=-π4 D.A=1,ω=2,φ=-π12
解析:由表格得A=2,3π4-π12=2πω,
∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.
当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4.
答案:C
3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点3π4,0,则ω的最小值是(　　)
A.13 B.1 C.53 D.2
解析:把f(x)=sin ωx的图象向右平移π4个单位长度得y=sinωx-π4的图象.
又所得图象过点3π4,0,
∴sinω3π4-π4=0.
∴sinωπ2=0,∴ωπ2=kπ(k∈Z).
∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.
答案:D
4.把函数y=sin2x-π4的图象向左平移π8个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为(　　)
A.最大值为12的偶函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π,且最大值为2的函数
D.最大值为2