三角函数的图像与性质练习题.doc

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1、.三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()A.y=sin x与y=sin(x+)B.y=cos x与y=sin2-xC.y=sin x与y=sin(-x)D.y=-sin(2+x)与y=sin x解析:由诱导公式易知y=sin2-x=cos x,故选B.答案:B2.y=1+sin x,x0,2的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:作出y=1+sin x在0,2上的图象,可知只有一个交点.答案:B3.函数y=sin(-x),x0,2的简图是()解析:y=sin(-x)=-sin x,x0,2的图象可看作是由y=sin x,x0,

2、2的图象关于x轴对称得到的,故选B.答案:B4.已知cos x=-12,且x0,2,则角x等于()A.23或43B.3或23C.6或56D.56或116解析:如图:由图象可知,x=23或43.答案:A5.当x0,2时,满足sin2-x-12的x的取值范围是()A.0,23B.43,2 C.0,2343,2 D.23,43解析:由sin2-x-12,得cos x-12.画出y=cos x,x0,2,y=-12的图象,如图所示.cos23=cos43=-12,当x0,2时,由cos x-12,可得x0,2343,2.答案:C6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有个.解析:在同一坐标系中作

3、出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.答案:37.利用余弦曲线,写出满足cos x0,x0,2的x的区间是.解析:画出y=cos x,x0,2上的图象如图所示. cos x0的区间为0,232,2答案:0,232,28.下列函数的图象:y=sin x-1;y=|sin x|;y=-cos x;y=cos2x;y=1-cos2x.其中与函数y=sin x图象形状完全相同的是.(填序号)解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,完全相同.而y=|sin x|的图

5、y0时,x(-,0);当ycos x成立的x的取值范围是()A.4,2,54B.4,C.4,54D.4,54,32解析:如图所示(阴影部分)时满足sin xcos x.答案:C4.在0,2内,不等式sin x-32的解集是.解析:画出y=sin x,x0,2的草图如下:因为sin3=32,所以sin+3=-32,sin2-3=-32.即在0,2内,满足sin x=-32的是x=43或x=53.可知不等式sin x-32的解集是43,53.答案:43,535.(2016河南南阳一中期末)函数y=sinx+12-cosx的定义域是.解析:由题意,得sinx0,12-cosx0,2kx2k+,kZ,

6、2k+3x2k+53,kZ,2k+3x2k+,kZ.故函数y=sinx+12-cosx的定义域为3+2k,+2k,kZ.答案:3+2k,+2k,kZ6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x6x23的值域是.解析:y=2sin x的部分图象如图.当x=2时,ymax=2,当x=6时,ymin=1,故y1,2.答案:1,27.画出正弦函数y=sin x(xR)的简图,并根据图象写出:(1)y12时x的集合;(2)-12y32时x的集合.解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y=12在0,2上与正弦曲线交于6,12,56,12两点,在0,2区间内,y12时x的集合为x6x56.当xR时,若y

7、12,则x的集合为x6+2kx56+2k,kZ.(2)过0,-12,0,32两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点76+2k,-12(kZ),116+2k,-12(kZ)和点3+2k,32(kZ),23+2k,32(kZ),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-12y32时x的集合为x-6+2kx3+2k,kZx23+2kx76+2k,kZ.8.作出函数y=2+sin x,x0,2的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出y的取值范围;(2)若函数图象与y=1-a2在x0,上有两个交点,求a的取值范围.解:列表:x02322sin x010-1

8、02+sin x23212描点、连线,如图.(1)由图知,y1,3.(2)由图知,当21-a23时,函数图象与y=1-a2在0,上有两个交点,即-5a-3.故a的取值范围是(-5,-3. 正弦函数、余弦函数的性质(一)A组1.函数f(x)=-2sinx+3的最小正周期为()A.6B.2C.D.2解析:T=2=2.答案:D2.下列函数中,周期为2的是()A.y=sinx2B.y=sin 2xC.y=cosx4D.y=cos(-4x)解析:对D,y=cos(-4x)=cos 4x,T=24=2,故选D.答案:D3.(2016四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sin2x-2,xR,则f(x)是(

9、)A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数解析:因为f(x)=sin2x-2=-cos 2x,所以f(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为的偶函数.答案:B4.已知函数f(x)=sin4x+3,g(x)=sin3x+6的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=()A.-32B.-12C.12D.32解析:由已知T1=24=2,T2=23,sin(T1+T2)=sin2+23=sin+6=-sin6=-12.答案:B5.(2016浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周

10、期为2的函数,且有f(x)=sinx,0x,cosx,-x0)的最小正周期为23,则=.解析:y=sinx+4的最小正周期为T=2,2=23,=3.答案:38.若f(x)(xR)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)=.解析:f(x+2)=f(x),f(x)的周期为T=2.f(4)=f(0).又f(x)(xR)为奇函数,f(0)=0.f(4)=0.答案:09.判断函数f(x)=cos(2-x)-x3sin12x的奇偶性.解:因为f(x)=cos(2-x)-x3sin12x=cos x-x3sin12x的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin12(-x)=cos x-x

11、3sin12x=f(x),所以f(x)为偶函数.10.若函数f(x)是以2为周期的偶函数,且f3=1,求f-176的值.解:f(x)的周期为2,且为偶函数,f-176=f-3+6=f-62+6=f6.而f6=f2-3=f-3=f3=1,f-176=1.B组1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.答案:D2.函数y=cosk4x+3(k0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值

12、应是()A.10B.11C.12D.13解析:T=2k4=8k2,k4.又kZ,正整数k的最小值为13.答案:D3.将函数y=sin x的图象向左平移2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为C.y=f(x)的图象关于直线x=2对称D.y=f(x)的图象关于点-2,0对称解析:y=sin x的图象向左平移2个单位,得y=f(x)=sinx+2=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2,B不正确;f(x)的图象关于直线x=k(kZ)对称,C不正确;f(x)的图象关于点k+2,0(kZ)对称,当k=-1时

13、,点为-2,0,故D正确.综上可知选D.答案:D4.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且当x-2,0时,f(x)=cos x,则f-53=()A.12B.32C.-12D.-32解析:f(x)的最小正周期是,f-53=f-23=f3.又f(x)是奇函数,f3=-f-3=-cos-3=-12.答案:C5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x3,4时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:fsin12fcos12;fsin3fcos3;f(sin 1)sin3cos30,1sin 1cos 10,1cos12sin120,fsin3fcos3,f(sin 1)fcos12.答案

14、:6.已知函数y=12sin x+12|sin x|.(1)画出这个函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=12sin x+12|sin x|=sinx,x2k,2k+(kZ),0,x2k-,2k)(kZ).函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2重复一次,故函数的最小正周期是2.7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x0,2时,f(x)=sin x.(1)求当x-,0时,f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)在-,上的简图;(3)求当f(x)12时x的取值范围.解:(1)f(x)是偶

15、函数,f(-x)=f(x).当x0,2时,f(x)=sin x,当x-2,0时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.又当x-,-2时,x+0,2,f(x)的周期为,f(x)=f(+x)=sin(+x)=-sin x.当x-,0时,f(x)=-sin x.(2)如图.(3)在0,内,当f(x)=12时,x=6或56,在0,内,f(x)12时,x6,56.又f(x)的周期为,当f(x)12时,xk+6,k+56,kZ. 正弦函数、余弦函数的性质(二)A组1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是()A.-4,4B.4,34C.,32D.32,2解析:画出y=|sin x|的图象即

16、可求解.故选C.答案:C2.(2016福建三明一中月考)y=cosx2-6(-x)的值域为()A.-12,12B.-1,1 C.-12,1D.-12,32解析:因为-x,所以-23x2-63.所以-12cosx2-61,y=cosx2-6(-x)的值域为-12,1.答案:C3.函数f(x)=3sinx+6在下列区间内递减的是()A.-2,2B.-,0C.-23,23D.2,23解析:令2k+2x+62k+32,kZ可得2k+3x2k+43,kZ,函数f(x)的递减区间为2k+3,2k+43,kZ.从而可判断2,233,43,在x2,23时,f(x)单调递减.答案:D4.函数f(x)=2sinx

17、-6(0)的最小正周期为4,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为()A.xx=4k-23,kZB.xx=4k+23,kZC.xx=4k-3,kZD.xx=4k+3,kZ解析:T=2=4,=12.f(x)=2sin12x-6.由12x-6=2k-2(kZ),得x=4k-23(kZ).答案:A5.已知函数f(x)=sinx-2,xR,下列结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间0,2上是增函数C.函数f(x)的图象关于y轴对称D.函数f(x)是奇函数解析:f(x)=sin-2-x=-sin2-x=-cos x,周期T=2,选项A正确;f(x)在0,2上是增函数,选项

18、B正确;定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,选项C正确,选项D错误.答案:D6.函数y=sin |x|+sin x的值域是.解析:y=sin |x|+sin x=2sinx,x0,0,x-,-a0.答案:(-,08.若函数f(x)=sin x(02)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则=.解析:由题意知函数f(x)在x=3处取得最大值,3=2k+2,=6k+32,kZ.又00)的最小正周期为.(1)求f(x)在0,2上的值域,并求出取最小值时的x值;(2)求f(x)的单调递增区间.解:由已知得22=,=1,f(x

19、)=sin2x+4.(1)当x0,2时,42x+454.-22sin2x+41.f(x)值域为-22,1.当2x+4=54时,f(x)取最小值-22,x=2时,f(x)取最小值.(2)令2k-22x+42k+2(kZ),得k-38xk+8(kZ).f(x)的递增区间为k-38,k+8(kZ).10.已知函数f(x)=2asin2x+6+a+b的定义域是0,2,值域是-5,1,求a,b的值.解:0x2,62x+676.-12sin2x+61.a0时,b=-5,3a+b=1,解得a=2,b=-5.a0时,b=1,3a+b=-5,解得a=-2,b=1.因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.B组1.

20、若04,a=2sin+4,b=2sin+4,则()A.abC.ab2解析:04,4+4+42.而正弦函数y=sin x在x0,2上是增函数,sin+4sin+4.2sin+42sin+4,即a1,0x2,则函数y=sin2x+2asin x的最大值为()A.2a+1B.2a-1C.-2a-1D.a2解析:令sin x=t,则-1t1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.a1,当t=1时,ymax=12+2a1=2a+1,故选A.答案:A3.函数y=cos4-2x的单调递增区间是()A.k+8,k+58,kZB.k-38,k+8,kZC.2k+8,2k+58,kZD.2k-38,2

21、k+8,kZ解析:函数y=cos4-2x=cos2x-4,令2k-2x-42k,kZ,得k-38xk+8,kZ,故单调递增区间为k-38,k+8,kZ.答案:B4.函数y=2sin3-x-cos6+x(xR)的最小值为.解析:3-x+6+x=2,y=2sin2-6+x-cosx+6=2cosx+6-cosx+6=cosx+6.ymin=-1.答案:-15.若函数f(x)=sin x(0)在区间-3,6上单调递增,则当取最大值时,函数f(x)=sin x的周期是.解析:令2k-2x2k+2可得2k-2x2k+2,k=0时,f(x)在-2,2上递增.又f(x)在-3,6上递增,-2-3,26,0,

22、解得0cosx,给出下列四个命题:该函数是以为最小正周期的周期函数;当且仅当x=+k(kZ)时,该函数取得最小值-1;该函数的图象关于直线x=54+2k(kZ)对称;当且仅当2kx2+2k(kZ)时,0f(x)22.其中正确命题的序号是.解析:画出f(x)在一个周期0,2上的图象.由图象知,函数f(x)的最小正周期为2,在x=+2k(kZ)和x=32+2k(kZ)时,该函数都取得最小值,为-1,故错误.由图象知,函数图象关于直线x=54+2k(kZ)对称,在2kx2+2k(kZ)时,00,|2,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为2,且直线x=6是函数y=f(x)图象的一

23、条对称轴.(1)求的值;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)若x-6,3,求y=f(x)的值域.解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为2,所以函数的周期T=,所以=2=2.(2)因为直线x=6是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以26+=k+2,kZ,=k+6,kZ.又|0)的图象的相邻两支截直线y=3所得线段长为2,则a的值为()A.2B.12C.D.1解析:由已知得f(x)的周期为2,a=2.a=2.答案:A4.函数f(x)=tanx2-cosx的奇偶性是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:f(x)的

24、定义域为xxk+2,kZ,f(-x)=tan(-x)2-cos(-x)=-tanx2-cosx=-f(x).f(x)是奇函数.答案:A5.下列图形分别是y=|tan x|;y=tan x;y=tan(-x);y=tan |x|在x-32,32内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是()A.B.C.D.解析:y=tan(-x)=-tan x在-2,2上是减函数,只有图象d符合,即d对应.答案:D6.已知函数y=3tanx+6的最小正周期是2,则=.解析:由题意知,T=|=2,=2.答案:27.函数y=3tanx+3的对称中心的坐标是.解析:由x+3=k2,kZ,得x=k2-3,kZ,即对称

25、中心坐标是k2-3,0(kZ).答案:k2-3,0(kZ)8.满足tanx+3-3的x的集合是.解析:把x+3看作一个整体,利用正切函数的图象可得k-3x+3k+2,kZ,解得k-23xk+6,kZ.故满足tanx+3-3的x的集合是xk-23xk+6,kZ.答案:xk-23xk+6,kZ9.求函数y=tan4x-4的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.解:由4x-4k+2,得xk4+316,所求定义域为xxk4+316,kZ,值域为R,周期T=4.又f316没有意义,f-316=tan4-316-4=0,f(x)是非奇非偶函数.令-2+k4x-42+k,kZ,解得k4-16x0)

26、,y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2,求f(x)的单调递增区间.解:由题意知,函数f(x)的周期为2,则|=2,由于0,故=12.所以f(x)=2tan12x+4.再由k-212x+4k+2,kZ,得2k-32x2k+2,kZ,即函数f(x)的单调递增区间为2k-32,2k+2,kZ.11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x-4,4的值域.解:-4x4,-1tan x1.令tan x=t,则t-1,1.y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.当t=-1,即x=-4时,ymin=-4,当t=1,即x=4时,ymax=4.故所求函数的值域为-4,4.B组1.函数y

27、=tan2xtanx的定义域为()A.xRxk4,kZB.xRxk+2,kZC.xRxk+4,kZD.xRxk-4,kZ解析:由题意知tan2x有意义,tanx有意义,且tanx0,即2xk+2(kZ),xk+2,且xk(kZ),得xk2+4(kZ),xk+2,且xk(kZ),故xk4(kZ).答案:A2.函数f(x)=tanx-4与函数g(x)=sin4-2x的最小正周期相同,则=()A.1B.1C.2D.2解析:函数g(x)的周期为22=,|=,=1.答案:A3.设a=log12tan 70,b=log12sin 25,c=12cos25,则有()A.abcB.bcaC.cbaD.acta

28、n 45=1,a=log12tan 700.又0sin 25log1212=1.而c=12cos25(0,1),bca.答案:D4.已知函数y=tan x在-2,2内是减函数,则的取值范围为.解析:由题意可知0,又2,-2-2,2.故-10.答案:-10,|0,|2,由可得=2,=-4.答案:2-46.方程12x-tan x=0在x-2,22,32内的根的个数为.解析:分别画出y=12x与y=tan x在x-2,22,32内的图象,如图.易知y=12x与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.答案:27.函数f(x)=tan(3x+)图象的一个对称中心是4,0,其中02,试求函数

29、f(x)的单调区间.解:由于函数y=tan x的对称中心为k2,0,其中kZ,则34+=k2,即=k2-34.由于02,所以当k=2时,=4.故函数解析式为f(x)=tan3x+4.由于正切函数y=tan x在区间k-2,k+2(kZ)上为增函数,则令k-23x+4k+2,解得k3-4xk3+12,kZ,故函数的单调增区间为k3-4,k3+12,kZ.没有单调减区间.8.设函数f(x)=tanx2-3.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间;(2)求不等式-1f(x)3的解集;(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.解:(1)由x2-32+k(kZ),得x53+2k,f(x)的定义

30、域是xRx53+2k,kZ.=12,周期T=2.由-2+kx2-32+k(kZ),得-3+2kx0,0)在一个周期内的简图时,列表如下:x+02322x12451271234y020-20则有()A.A=0,=12,=0B.A=2,=3,=12C.A=2,=3,=-4D.A=1,=2,=-12解析:由表格得A=2,34-12=2,=3.x+=3x+.当x=12时,3x+=4+=0,=-4.答案:C3.将函数f(x)=sin x(其中0)的图象向右平移4个单位长度,所得图象经过点34,0,则的最小值是()A.13B.1C.53D.2解析:把f(x)=sin x的图象向右平移4个单位长度得y=sinx-4的图象.又所得图象过点34,0,sin34-4=0.sin2=0,2=k(kZ).=2k(kZ).0,的最小值为2.答案:D4.把函数y=sin2x-4的图象向左平移8个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为()A.最大值为12的偶函数B.周期为的偶函数C.周期为2,且最大值为2的函数D.最大值为2

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