三角函数图像变换顺序详解(全面).doc

图象变换的顺序寻根题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移 m 变换 2.纵向伸缩 A 变换3.横向平移 变换 4.横向伸缩 变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sinx到y = Asin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】 函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】 第1步，横向平移：将y = sin x 向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】 第1步，横向伸缩：将y = sin x 的横坐标缩短倍，得 y = sin 2x 第2步，横向平移：将y = sin 2x 向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】 解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】 对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反如当0时对应右移（增方向），而m 1时对应着“缩”，而| A | 1时，对应着“扩”？【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.如将例1中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x中，平移是对x进行的.故先平移（x）对后伸缩（）没有影响； 但先收缩（x）对后平移（）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.【说明】 为了使得4种变换量与4个参数（A，m）对应，降低“解题风险”，在由sinx变到Asin () ( 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x（2）横向伸缩：x+（3）纵向伸缩：sin () Asin ()（4）纵向平移：Asin () Asin () + m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到Asin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x),最后将图象左移得函数y= sinx.【例2】 将y = f (x)cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x . 试求f (x)的表达式.【分析】 这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】 将y = 2sin2 x 下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得 y = 2sin2 x1，再将 2sin2x1左移（与正向变换右移相反）得 令 f (x)cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x【说明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向变换为sin 2x2sin2x,其逆变换为2sin2xsin2x. 因为2sin2x=1+sin(2 x),所以下移1个单位得sin(2 x),左移得sin2x.三、翻折变换 使 0平移变换x是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(- x)左移而得.其实，x或y的系数变 -1，也对应着两种不同的图象变换：由x - x对应着关于y轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f (x) - f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.【例3】 求函数的单调减区间. 【分析】 先变换 -3x3x,即沿y轴的翻折变换.【解析1】 ，转化为求g(x)=sin(3x)的增区间令 x （f(x)减区间主解）又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为 x 【解析2】 的减区间为 即是 x 【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解 x (2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【思考】 本解先将“正数化”，使0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组 将会使你陷入歧途，不防试试！5