三角函数图像及其变换复习教学案.doc

扬中市第二高级中学高一数学复习教案
三角函数图像及其变换
一、知识要点：
1．正弦、余弦、正切函数图象和性质
函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
图象

定义域

值域

当时，
时，

当时，
当时，

周期性
是周期函数，最小正周期
是周期函数，最小正周期

奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于轴对称
奇函数，图象关于原点对称
单调性
在
上是单调增函数
在上是单调减函数
在上是单调增函数
在上是单调减函数
在
上是单调增函数

对称轴

对称
中心

2．利用“五点法”作函数(其中)的简图，是将看着一个整体，先令列表求出对应的的值与的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
3．研究函数(其中)的单调性、对称轴、对称中心仍然是将看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期
4．图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换

5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
二.基础练习
1． 函数的最小正周期T= 4 ．
2．函数的最小正周期是 若函数的最小正周期是,则a=__1___.
3．函数为增函数的区间是
4．函数的最小值是1
5．将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
先周期缩短原来的一半，再向右平移个单位长度，再纵向伸长一倍。
6．已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为，
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______. b<c<a
8．给出下列命题：
①存在实数，使成立；
②函数是偶函数；
③直线是函数的图象的一条对称轴；
④若和都是第一象限角，且，则．
⑤的图象关于点对称；
其中结论是正确的序号是 ②③ ⑤ （把你认为是真命题的序号都填上）．

三、例题分析：
题型1：三角函数图像变换
例1、 变为了得到函数的图象，可以将函数的图象怎样变换？
先周期缩短原来的一半，再向左平移个单位长度，再纵向伸长一倍。
式1：将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin(x+).
题型2：三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log()
⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.
(1) (2k) kZ ,
(2) 减(2k),增(2k) kZ
(3) 非奇非偶, (4)2
变式1：求函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合．；
当时，取最大值3/2 当时，取最大值-3/2
变式2：函数y=2sinx的单调增区间是［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）
题型3：图像性质的简单应用
例3、已知函数的图象与轴交于点，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为，，
（1）求函数的解析式； ()
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。
变式1：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx＋）＋b.

（Ⅰ）求这段时间的最大温差；20
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．y=10sin（）+20
变式2：已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，求和的值。
分析：10.用偶函数这一条件可得对定义域内的任意都成立得到，再由得到
20.对第二个条件图象关于点对称的应用，一般的方法是：若函数关于点对称，则有，于是本题就可以有， 由于的任意性，不妨取，得，又。
另一方面也可由的性质知道就是它的一个对称中心，因此必有，从而也可以得出
题型4：三角函数综合应用
例4、求下列函数的定义域
(1) (2) (3) .

例5、求下列函数的值域
(1) (2) (3)
[1,5] [-4,0] [1/3,3]
例6 若的最小值为 ，
（1）求的表达式；
（2）求使的的值，并求当取此值时的最大值。
解： (1) (2) (3)
能力检测题
1．（2007年福建）．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ A ）
A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称D．关于直线对称
2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为的是（ D ）
A． B． C． D．
3．（07年山东卷文4）．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ A）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
4．如果有意义，则的取值范围是 4
5．（2007年江西卷文2）．函数的最小正周期为
6．要得到的图象，只需将函数的图象 向右平移个单位
7．对于函数，有下列说法：
①最大值为； ②最小正周期为； ③在至少有一个，使得；
④由解得的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是 ②④
8．函数的单调增区间为.
9．已知,且求角x的集合.
10．函数的单调递增区间是.
11．函数是奇函数，且当时，，则当时， 等于．
12.如果、、均为锐角，，，，则从小到大的顺序为 ．
13. 函数的定义域是__________.

14．（07年浙江卷理2）若函数，（其中，）的最小正周期是，
且，则
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