北师大版九年级数学下册-第3章-圆-单元测试题-(有答案).docx

北师大版九年级数学下册 第 3 章 圆 单元测试题
一．选择题（共 10 小题）
1．圆心角是 90°，半径为 20 的扇形的弧长为（
A．5π B．10π C．20π
2．已知 AB 是半径为 5 的圆的一条弦，则 AB 的长不可能是（
A．4 B．8 C．10
）
D．25π
D．12
）
3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，D 为圆周上一点，若 的度数为 50°，则∠ADC 的度
数为（
）
A．20°
B．25°
C．30°
D．50°
4．如图，已知点 A、B、C、D 都在⊙O 上，且∠BOD＝110°，则∠BCD 为（
）
A．110°
B．115°
C．120°
D．125°
5．⊙O 的直径为 4，点 A 到圆心 O 距离为 3．则（
A．点 A 在⊙O 外
）
B．点 A 在⊙O 上
C．点 A 在⊙O 内
D．点 A 与⊙O 的位置关系不能确定
6．如图正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 3，则正六边形 ABCDEF 的边长为（
）

A．3
B．6
C．3
D．3
7．如图，∠ACB＝30°，点O 是 CB 上的一点，且OC＝6，则以4 为半径的⊙O 与直线 CA 的公共
点的个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无法确定
8．如图，AB、AC 是⊙O 的切线，B、C 为切点，∠A＝50°，点 P 是圆上异于 B、C，且在
上
的动点，则∠BPC 的度数是（
）
A．65°
B．115°
C．115°或 65°
D．130°或 65°
9．如图，已知 OB 为⊙O 的半径，且 OB＝10cm，弦 CD⊥OB 于 M，若 OM：MB＝4：1，则 CD
长为（
）
A．3cm
B．6cm
C．12cm
D．24cm
10．⊙O 的半径 r＝10cm，圆心到直线 l 的距离 OM＝6cm，在直线 l 上有一点 P，且 PM＝3cm，则
点 （
P
）
A．在⊙O 内
B．在⊙O 上
C．在⊙O 外
D．可能在⊙O 上或在⊙O 内
二．填空题（共 8 小题）
11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是
．

12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝
．
13．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD 的宽度为 2 米，F 是线段 CD 的中点，EF 经过圆
心 交⊙ 与点 ， ＝3 米，则⊙O 直径的长是
E EF
米．
O
O
14．如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上 ，B 是 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E．若
∠AEC＝84°，则∠ADC＝ °．
15．如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD＝3，BD＝4，则△ABC 的面积为
．
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，D 是 BC 边上一点，连结 AD，作△ABD 的外接圆，将

△ADC 沿直线
翻折，若点 的对应点 落在 的中点， ＝ ，则 的长为
C E CD BD
．
AD
17．如图，某种齿轮有20 个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于
°．
18．线段 AB＝10cm，在以 AB 为直径的圆上，到点 A 的距离为 5cm 的点有
三．解答题（共 8 小题）
个．
19．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，且 DB＝DC，求证：
AD 平分∠CAE．
20．如图，AB 是⊙O 直径，弦CD⊥AB 于点 E，过点C 作 DB 的垂线，交AB 的延长线于点 G，垂
足为点 ，连结 AC．
F
（1）求证： ＝ ；
AC CG
（2）若 CD＝8，OG＝10，求⊙O 的半径．

21．如图，梯形 ABCD 中 ，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tanB＝3．以 AB 为直径作⊙O，
交边 DC 于 E、F 两点．
（1）求证： ＝ ；
DE CF
（2）求：直径
的长．
AB
22．若△ABC 内接于⊙O，OC＝6cm，AC＝
23．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直 线 BF 与 AD 延长线交于点 F，且∠AFB
＝∠ABC
cm，则∠B 等于
．
．
（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线；
（2）若 CD＝2 ，BP＝1，求⊙O 的半径．
24．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点 E，△PCD 的周长为 12，∠APB＝60°．求：
（1）PA 的长；
（2）∠COD 的度数．
25．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，M 为 的中点，连接 AM，BM．
（1）求证：
；
（2）求 的度数．

26．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且 CD⊥AB 于点 E．
（1）求证：∠BCO＝∠ ；
D
（2）若
＝2 ， ＝1，求劣弧
CD AE
的长．
BD

参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．解：圆心角是 90°，半径为 20 的扇形的弧长＝
＝10π．
故选： ．
B
2．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．
故选： ．
D
3．解：∵ 的度数为 50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径
⊥ ，
OC AB
∴ ＝ ，
∴∠ADC＝ ∠BOC＝25°．
故选： ．
B
4．解：∵∠A＝ ∠BOD＝ ×110°＝55°，
而∠ +∠BCD＝180°，
A
∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°．
故选： ．
D
5．解：∵⊙O 的直径为 4cm，
∴⊙O 的半径为 2cm，
而点 到圆心 的距离为 3 ，
A
O
cm
∴点 A 在⊙O 外．
故选： ．
A
6．解：∵正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 3，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为 3，
∴正六边形
的边长为 3，
ABCDEF
故选： ．
A
7．解：过 O 作 OD⊥OA 于 D，

∵∠AOB＝30°， ＝6，
OC
∴OD＝ OC＝3＜4，
∴以 4 为半径的⊙O 与直线 CA 的公共点的个数为 2 个，
故选： ．
C
8．解：如图，连接 OB、OC，
∵AB、AC 是⊙O 的切线，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠ ＝50°，
A
∴∠BOC＝130°，
∵∠BOC＝2∠ ，
P
∴∠BPC＝65°；
故选： ．
AC
9．解：∵弦 CD⊥OB 于 M，
∴
∵
＝
CM DM
＝ CD，
： ＝4：1，
OM MB
∴OM＝
＝8 ，
OB cm
∴CM＝
＝
＝6（ ），
cm
∴ ＝2 ＝12 ，
CD CM
cm
故选： ．
C
10．解：∵过点 O 作 OM⊥l，连接 OP，
∴MP＝3 ，
＝6 ，
cm OM cm

∴ ＝
CO
＝
＝3 ，
∵⊙C 的半径 r＝10cm，
∴ ＝3 ＜10，
d
∴点 在圆内，．
P
故选： ．
A
二．填空题（共 8 小题）
11．解：∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴阴影部分的面积＝
＝ π．
故答案为 π．
12．解：由圆周角定理得，∠A＝ ∠BOD＝70°，
∵四边形 是圆内接四边形，
ABCD
∴∠BCD＝180°﹣∠ ＝110°，
A
故答案为：110°．
13．解：如图，连接 OC，
∵ 是弦
F
的中点，EF 过圆心 ，
O
CD
∴ ⊥ ．
EF CD
∴ ＝ ．
CF FD
∵ ＝2，
CD
∴ ＝1，
CF
设
＝ ，则
OC x
＝3﹣ ，
OF
x
在 Rt△COF 中，根据勾股定理，得
12+（3﹣x）2＝x2．
解得 ＝ ，
x

∴⊙O 的直径为
故答案为：
．
．
14．解：连接 BD、BC，
∵ 是 的中点，
B
∴ ＝ ，
∴
，
∵四边形
是圆内接四边形，
ABCD
∴∠EBC＝∠ADC
∵EC 是⊙O 的切线，切点为 C，
∴∠BCE＝∠BDC＝ ∠ADC
，
，
∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴84°+ ∠ADC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝64°．
故答案为 64．
15．解：设 CE＝x．
根据切线长定理，得 ＝ ＝3， ＝ ＝4， ＝ ＝ ．
AE AD
BF BD
CF CE x
根据勾股定理，得（ +3）2+（ +4）2＝（3+4）2．
x
x
整理，得 2+7 ＝12．
x
x
∴S△ABC＝ AC BC
•

＝ （ +3）（ +4）
x
x
2+7 +12
x
＝ （x
）
＝ ×（12+12）
＝12；
故答案为：12．
16．解：连接 BE，作 EF⊥BD 于 F，如图所示：
由折叠的性质得：∠DAC＝∠ ， ＝ ＝ ，
DAE DE CD
∵点 是 的中点，
E
∴
，
∴ ＝ ＝ ，∠DAE＝∠BAE＝∠BDE＝∠DBE
BE DE
，
∴∠DAC＝∠DAE＝∠BAE
，
∵∠CAB＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∵ ⊥ ，
EF BD
∴ ＝ ， ＝ DE＝
DF BF EF
，
∴ ＝ EF＝
DF
，
∴ ＝2 ＝ ；
BD DF
故答案为： ．
17．解：由题意这是正二十边形，中心角 α＝
故答案为 18．
＝18°，
18．解：如图所示：到点 A 的距离为 5cm 的点有 2 个．

故答案为：2．
三．解答题（共 8 小题）
19．证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB
∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB
∵∠DAC＝∠DBC
∴∠EAD＝∠DAC
∴AD 平分∠CAE
，
，
，
，
．
20．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF
，
∴∠ ＝∠ ，
D G
∵∠ ＝∠ ，
A D
∴∠ ＝∠ ，
A G
∴ ＝ ．
AC CG
（2）解：设⊙O 的半径为 r．则 AG＝OA+OG＝r+10，
∵ ＝ ， ⊥ ，
CA CG CD AB
∴ ＝ ＝
AE EG
， ＝ ＝4，
EC ED
∴ ＝ ﹣ ＝
OE AE OA
，
在 Rt△OEC 中，∵ 2＝ 2+ 2，
OC OE EC
∴ 2＝（
r
）2+42，
解得 ＝
r
或
（舍弃），

∴⊙O 的半径为
．
21．（1）证明：过点 O 作 OH⊥DC，垂足为 H．
∵ ∥ ，∠ADC＝90°， ⊥ ，
AD BC
OH DC
∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．
∴ ∥ ∥ ．
AD OH BC
又∵ ＝ ．
OA OB
∴
∵
＝ ．
DH HC
⊥ ，
OH DC OH
过圆心，
∴ ＝ ，
EH HF
∴
﹣ ＝ ﹣ ．
DH EH HC HF
即： ＝ ．
DE CF
（2）解：过点 作
⊥ ，垂足为点 ，∠AGB＝90°，
AG BC G
A
∵∠AGB＝∠BCN＝90°，
∴ ∥ ．
AG DC
∵ ∥ ，
AD BC
∴ ＝ ．
AD CG
∵ ＝2， ＝4，
AD
BC
∴ ＝ ﹣ ＝2．
BG BC CG
在 Rt△AGB 中，∵tan ＝3，
B
∴ ＝ •tan ＝2×3＝6．
AG BG
B
在 Rt△AGB 中，AB2＝AG2+BG2
∴ ＝
AB
．

．解：如图 ，
1
22
连接
∵
， ，过 作
O
⊥
OD AC
于 ，
D
OA OC
⊥ ，
OD AC OD
过圆心 ，
O
∴ ＝ ＝
AD CD
＝
AC 3
，
由勾股定理得： ＝
OD
＝
＝ ，
3
即
OD＝ OC，
∴∠
＝ °，∠
＝ °，
COD 60
DCO 30
同理∠ ＝ °，
AOD 60
∵∠ ＝ ∠AOC，
B
∴∠ ＝ °．
B 60
② 如图
2
∵由垂径定理得
═
CM 3
， ＝ ，由勾股定理得： ＝ ，
OC 6 OM 3
∴∠
∴∠
＝ °，∴∠
＝ °，
OCM 30
MOC 60
＝ ∠ ＝ °，
AOC 2 MOC 120
由圆周角定理得：∠ ＝ °，
D 60
∵ 、 、 、 四点共圆，
A D C B
∴∠ ＝ °，
ABC 120
故答案为： °或 120°．
60

23．（1）证明：∵弧 AC＝弧 AC，
∴∠ABC＝∠ADC
∵∠AFB＝∠ABC
，
，
∴∠ADC＝∠AFB
，
∴ ∥ ，
CD BF
∵ ⊥ ，
CD AB
∴ ⊥ ，
AB BF
∵AB 是圆的直径，
∴直线 BF 是⊙O 的切线；
（2）解：设⊙O 的半径为 r，连接 OD．如图所示：
∵ ⊥ ， ＝2 ，
AB BF CD
∴ ＝ ＝ CD＝ ，
PD PC
∵ ＝1，
BP
∴ ＝ ﹣1
OP r
在 Rt△OPD 中，由勾股定理得： 2 ＝（ ﹣1）2+（ ）2
r
r
解得： ＝3．
r
即⊙O 的半径为 3．
24．解：（1）∵CA，CE 都是圆 O 的切线，
∴ ＝ ，
CA CE
同理
＝ ， ＝ ，
DE DB PA PB
∴三角形
的周长＝ + + ＝ + + + ＝ + ＝2 ＝12，
PD CD PC PD PC CA BD PA PB PA
PDE

即
的长为 6；
PA
（2）∵∠ ＝60°，
P
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵ ， 是圆 的切线，
CA CE O
∴∠OCE＝∠OCA＝ ∠ACD
；
同理：∠ODE＝ ∠CDB
，
∴∠OCE+∠ODE＝ （∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
25．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ＝ ，
AD BC
∴ ＝ ，
∵ 为 的中点，
M
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴
；
（2）解：连接
， ， ，
OM OA OB
∵正方形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴ 的度数时 135°．
26．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ ，
B

∵∠ ＝∠ ，
B D
∴∠BCO＝∠ ；
D
（2）解：连接 OD．
∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴ ＝ ＝ CD＝ ，
CE DE
∵∠ ＝∠ ，∠BEC＝∠DEC
B D
，
∴△BCE∽△DAE
，
∴ ： ＝ ： ，
AE CE DE BE
∴1： ＝ ： ，
BE
解得： ＝3，
BE
∴ ＝ + ＝4，
AB AE BE
∴⊙O 的半径为 2，
∵tan∠EOD
＝
＝
，
∴∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴ 的长＝
＝ π．

即
的长为 6；
PA
（2）∵∠ ＝60°，
P
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵ ， 是圆 的切线，
CA CE O
∴∠OCE＝∠OCA＝ ∠ACD
；
同理：∠ODE＝ ∠CDB
，
∴∠OCE+∠ODE＝ （∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
25．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ＝ ，
AD BC
∴ ＝ ，
∵ 为 的中点，
M
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴
；
（2）解：连接
， ， ，
OM OA OB
∵正方形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴ 的度数时 135°．
26．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ ，
B

∵∠ ＝∠ ，
B D
∴∠BCO＝∠ ；
D
（2）解：连接 OD．
∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴ ＝ ＝ CD＝ ，
CE DE
∵∠ ＝∠ ，∠BEC＝∠DEC
B D
，
∴△BCE∽△DAE
，
∴ ： ＝ ： ，
AE CE DE BE
∴1： ＝ ： ，
BE
解得： ＝3，
BE
∴ ＝ + ＝4，
AB AE BE
∴⊙O 的半径为 2，
∵tan∠EOD
＝
＝
，
∴∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴ 的长＝
＝ π．

即
的长为 6；
PA
（2）∵∠ ＝60°，
P
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵ ， 是圆 的切线，
CA CE O
∴∠OCE＝∠OCA＝ ∠ACD
；
同理：∠ODE＝ ∠CDB
，
∴∠OCE+∠ODE＝ （∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
25．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ＝ ，
AD BC
∴ ＝ ，
∵ 为 的中点，
M
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴
；
（2）解：连接
， ， ，
OM OA OB
∵正方形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴ 的度数时 135°．
26．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ ，
B

∵∠ ＝∠ ，
B D
∴∠BCO＝∠ ；
D
（2）解：连接 OD．
∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴ ＝ ＝ CD＝ ，
CE DE
∵∠ ＝∠ ，∠BEC＝∠DEC
B D
，
∴△BCE∽△DAE
，
∴ ： ＝ ： ，
AE CE DE BE
∴1： ＝ ： ，
BE
解得： ＝3，
BE
∴ ＝ + ＝4，
AB AE BE
∴⊙O 的半径为 2，
∵tan∠EOD
＝
＝
，
∴∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴ 的长＝
＝ π．

即
的长为 6；
PA
（2）∵∠ ＝60°，
P
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵ ， 是圆 的切线，
CA CE O
∴∠OCE＝∠OCA＝ ∠ACD
；
同理：∠ODE＝ ∠CDB
，
∴∠OCE+∠ODE＝ （∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
25．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ＝ ，
AD BC
∴ ＝ ，
∵ 为 的中点，
M
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴
；
（2）解：连接
， ， ，
OM OA OB
∵正方形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴ 的度数时 135°．
26．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ ，
B

∵∠ ＝∠ ，
B D
∴∠BCO＝∠ ；
D
（2）解：连接 OD．
∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴ ＝ ＝ CD＝ ，
CE DE
∵∠ ＝∠ ，∠BEC＝∠DEC
B D
，
∴△BCE∽△DAE
，
∴ ： ＝ ： ，
AE CE DE BE
∴1： ＝ ： ，
BE
解得： ＝3，
BE
∴ ＝ + ＝4，
AB AE BE
∴⊙O 的半径为 2，
∵tan∠EOD
＝
＝
，
∴∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴ 的长＝
＝ π．