北师大新版九年级数学下册--第2章-二次函数-单元训练--含解析.docx

第 2 章 二次函数
一．选择题（共 14 小题）
1．二次函数 y＝x +2x﹣7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是（
）
2
A．3
B．5
C．﹣3 和 5
D．3 和﹣5
2．若二次函数 y＝ax +bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表，则当 x＝1 时，y 的值为（
）
2
x
y
﹣7
﹣6
﹣5
﹣3
﹣4
﹣3
﹣2
﹣27
﹣13
3
5
3
A．5
B．﹣3
C．﹣13
D．﹣27
3．将二次函数 y＝x ﹣2x+3 化为 y＝（x﹣h） +k 的形式，结果为（
）
2
2
A．y＝（x+1） +4
B．y＝（x﹣1） +4
C．y＝（x+1） +2
D．y＝（x﹣1） +2
2
2
2
2
4．根据关于 x 的一元二次方程 x +px+q＝0，可列表如下：则方程 x +px+q＝0 的正数解满足
2
2
（
）
x
0
1
1.2
1.3
2.29
x +px+q
﹣15 ﹣8.75
﹣2
﹣0.59
0.84
A．解的整数部分是 0，十分位是 5
B．解的整数部分是 0，十分位是 8
C．解的整数部分是 1，十分位是 1
D．解的整数部分是 1，十分位是 2
5．正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 AE＝BF＝CG
＝DH．设小正方形 EFGH的面积为 y，AE＝x．则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，函数 y＝ax ﹣2x+1 和 y＝ax﹣a（a 是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系的
2

图象可能是（
）
A．
C．
B．
D．
7．已知抛物线 y＝x ﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M′，若点 M′
2
在这条抛物线上，则点 M 的坐标为（
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13）
8．如图，垂直于 x 轴的直线 AB 分别与抛物线 C ：y＝x （x≥0）和抛物线 C ：y＝
）
C．（2，﹣8）
D．（4，﹣20）
（x
2
1
2
≥0）交于 A，B 两点，过点A 作 CD∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C 交于点 C，D，过点 B 作
2
EF∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C 交于点 E，F，则
的值为（
）
1
A．
B．
C．
D．
9．将抛物线 y＝x 向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，平移后所得新抛物线的表达
2
式为（
）
A．y＝（x+2） ﹣5 B．y＝（x+2） +5
C．y＝（x﹣2） ﹣5 D．y＝（x﹣2） +5
2
2
2
2
10．已知二次函数 y＝﹣x +x+6 及一次函数 y＝﹣x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x
2
轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 y＝﹣
x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（
）

A．﹣ ＜m＜3
B．﹣ ＜m＜2
C．﹣2＜m＜3
D．﹣6＜m＜﹣2
11．如图是二次函数 y＝ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax +bx+c＜0 的解集是
2
2
（
）
A．﹣1＜x＜5
B．x＞5
C．x＜﹣1 且 x＞5 D．x＜﹣1 或 x＞5
12．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3 米的小正方形组成，
且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1 米，AE
＝AF＝x 米，在五边形 EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x
的函数图象大致是（
）
A．
B．

C．
D．
13．如图，已知二次函数y＝ax +bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，
2
OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；②4ac﹣b ＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．
2
其中正确的个数是（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
14．当﹣2≤x≤1 时，二次函数 y＝﹣（x﹣m） +m +1 有最大值 4，则实数 m 的值为（
）
2
2
A．﹣
二．填空题（共 8 小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线 y＝x ﹣2x+2 上运动．过点A 作 AC⊥x 轴于
B．
或
C．2 或
D．2 或
或
2
点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为
．
16．二次函数 y＝x ﹣2x+6 的最小值是
．
2
17．如图，图中二次函数解析式为 y＝ax +bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有
（填
2
序号）
①abc＞0；②b ＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
2

18．将抛物线 y＝3（x﹣4） +2 向右平移 1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，平移后
2
抛物线的解析式是
．
19．若将二次函数 y＝x ﹣2x+3 配方为 y＝（x﹣h） +k 的形式，则 y＝
．
2
2
20．如图，已知函数y＝
与 y＝ax +b x（a＞0，b＞0）的图象交于点 P．点 P 的纵坐标为
2
1．则关于 x 的方程 ax +bx+ ＝0 的解为
．
2
21．如图，若抛物线 y＝ax +bx+c 上的 P（4，0），Q 两点关于它的对称轴 x＝1 对称，则 Q
2
点的坐标为
．
22．如图，四边形 ABCD是矩形，A、B 两点在 x 轴的正半轴上，C、D 两点在抛物线 y＝﹣x +6x
2
上．设 OA＝m（0＜m＜3），矩形 ABCD的周长为 l，则 l 与 m 的函数解析式为
．
三．解答题（共 5 小题）

23．如图，已知二次函数 y＝x +bx+c 过点 A（1，0），C（0，﹣3）
2
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标．
24．已知二次函数 y＝（m﹣2）x +（m+3）x+m+2 的图象过点（0，5）．
2
（1）求 m 的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
25．如图，已知二次函数 y＝a（x﹣h） + 的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）．
2
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶
点？
26．如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，
3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D．
（1）请直接写出 D 点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围．

27．已知二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 y 轴交于点 C（0，﹣6），与 x 轴的一个交点坐标是
A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 D 的坐标；
（2）将二次函数的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度，当 y＜0 时，求 x 的取值范围．

参考答案与试题解析
一．选择题（共 14 小题）
1．二次函数 y＝x +2x﹣7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是（
）
2
A．3
B．5
C．﹣3 和 5
D．3 和﹣5
【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意，得
x +2x﹣7＝8，
2
即 x +2x﹣15＝0，
2
解得 x＝3 或﹣5，
故选：D．
2．若二次函数 y＝ax +bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表，则当 x＝1 时，y 的值为（
）
2
x
y
﹣7
﹣5
﹣3
﹣2
﹣27
﹣13
3
5
3
A．5
B．﹣3
C．﹣13
D．﹣27
【分析】由表可知，抛物线的对称轴为 x＝﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求
得二次函数的解析式，再把 x＝1 代入即可求得 y 的值．
【解答】解：设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣h） +k，
2
∵当 x＝﹣4 或﹣2 时，y＝3，由抛物线的对称性可知 h＝﹣3，k＝5，
∴y＝a（x+3） +5，
2
把（﹣2，3）代入得，a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为 y＝﹣2（x+3） +5，
2
当 x＝1 时，y＝﹣27．
故选：D．
3．将二次函数 y＝x ﹣2x+3 化为 y＝（x﹣h） +k 的形式，结果为（
）
2
2
A．y＝（x+1） +4
B．y＝（x﹣1） +4
C．y＝（x+1） +2
D．y＝（x﹣1） +2
2
2
2
2
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是 1，只需加上一次项系数的一
半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】解：y＝x ﹣2x+3＝x ﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1） +2．
2
2
2

故选：D．
4．根据关于 x 的一元二次方程 x +px+q＝0，可列表如下：则方程 x +px+q＝0 的正数解满足
2
2
（
）
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
2.29
x +px+q
﹣15 ﹣8.75
﹣2
﹣0.59
0.84
A．解的整数部分是 0，十分位是 5
B．解的整数部分是 0，十分位是 8
C．解的整数部分是 1，十分位是 1
D．解的整数部分是 1，十分位是 2
【分析】仔细看表，可知x +px+q 的值﹣0.59 和 0.84 最接近于 0，再看对应的 x 的值即
2
可得．
【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是 0 时，x 应该是大于 1.1 而小
于 1.2．
所以解的整数部分是 1，十分位是 1．
故选：C．
5．正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 AE＝BF＝CG
＝DH．设小正方形 EFGH的面积为 y，AE＝x．则 y 关于 x 的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知得 BE＝CF＝DG＝AH＝1﹣x，根据 y＝S
﹣S ﹣S ﹣S ﹣S ，
正方形 ABCD
△AEH
△BEF
△CFG
△DGH
求函数关系式，判断函数图象．
【解答】解：依题意，得 y＝S
﹣S ﹣S ﹣S ﹣S
正方形 ABCD
△AEH
△BEF
△CFG
△DGH
＝1﹣4× （1﹣x）x＝2x ﹣2x+1，
2

即 y＝2x ﹣2x+1（0≤x≤1），
2
抛物线开口向上，对称轴为 x＝ ，
故选：C．
6．如图，函数 y＝ax ﹣2x+1 和 y＝ax﹣a（a 是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系的
2
图象可能是（
）
A．
C．
B．
D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，
判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数 y＝ax﹣a 的图象可得：a＜0，此时二次函数 y＝ax ﹣2x+1
2
的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数 y＝ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y＝ax ﹣2x+1 的图象应该开
2
口向上，对称轴 x＝﹣ ＞0，故选项正确；
C、由一次函数 y＝ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y＝ax ﹣2x+1 的图象应该开
2
口向上，对称轴 x＝﹣ ＞0，和 x 轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数 y＝ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y＝ax ﹣2x+1 的图象应该开
2
口向上，故选项错误．
故选：B．
7．已知抛物线 y＝x ﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M′，若点 M′
2

在这条抛物线上，则点 M 的坐标为（
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13）
）
C．（2，﹣8）
D．（4，﹣20）
【分析】先利用配方法求得点 M 的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点 M′的
坐标，然后将点 M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【解答】解：y＝x ﹣2mx﹣4＝x ﹣2mx+m ﹣m ﹣4＝（x﹣m） ﹣m ﹣4．
2
2
2
2
2
2
∴点 M（m，﹣m ﹣4）．
2
∴点 M′（﹣m，m +4）．
2
∴m +2m ﹣4＝m +4．
2
2
2
解得 m＝±2．
∵m＞0，
∴m＝2．
∴M（2，﹣8）．
故选：C．
8．如图，垂直于 x 轴的直线 AB 分别与抛物线 C ：y＝x （x≥0）和抛物线 C ：y＝
（x
2
1
2
≥0）交于 A，B 两点，过点A 作 CD∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C 交于点 C，D，过点 B 作
2
EF∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C 交于点 E，F，则
的值为（
）
1
A．
B．
C．
D．
【分析】可以设 A、B 横坐标为 a，易求得点 E、F、D 的坐标，即可求得 OE、CE、AD、BF
的长度，即可解题．
【解答】解：设点 A、B 横坐标为 a，则点 A 纵坐标为 a ，点 B 的纵坐标为
，
2
∵BE∥x 轴，
∴点 F 纵坐标为
，

∵点 F 是抛物线 y＝x 上的点，
2
∴点 F 横坐标为 x＝ ＝
，
∵CD∥x 轴，∴点 D 纵坐标为 a ，
2
∵点 D 是抛物线 y＝
∴点 D 横坐标为 x＝
上的点，
＝2a，
∴AD＝a，BF＝ a，CE＝ a ，OE＝ a ，
2
2
∴
＝
＝ × ＝ ．
故选：D．
9．将抛物线 y＝x 向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，平移后所得新抛物线的表达
2
式为（
）
A．y＝（x+2） ﹣5 B．y＝（x+2） +5
C．y＝（x﹣2） ﹣5 D．y＝（x﹣2） +5
2
2
2
2
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线 y＝x 的顶点坐标为（0，0），
2
先向左平移 2 个单位再向下平移 5 个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为 y＝（x+2） ﹣5．
2
故选：A．
10．已知二次函数 y＝﹣x +x+6 及一次函数 y＝﹣x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x
2
轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 y＝﹣
x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（
）
A．﹣ ＜m＜3
B．﹣ ＜m＜2
C．﹣2＜m＜3
D．﹣6＜m＜﹣2
【分析】如图，解方程﹣x +x+6＝0 得 A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出
2
折叠部分的解析式为 y＝（x+2）（x﹣3），即 y＝x ﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线
2

y
x m y x
A
m
y
x m
• ＝﹣ + 经过点 （﹣2，0）时 的值和当直线 ＝﹣ + 与抛物线 ＝
2
﹣x﹣6（﹣2
≤x≤3）有唯一公共点时 m 的值，从而得到当直线 y＝﹣x+m 与新图象有 4 个交点时，m
的取值范围．
【解答】解：如图，当y＝0 时，﹣x +x+6＝0，解得 x ＝﹣2，x ＝3，则 A（﹣2，0），B
2
1
2
（3，0），
将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式为 y＝（x+2）
（x﹣3），
即 y＝x ﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
2
当直线•y＝﹣x+m 经过点 A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得 m＝﹣2；
当直线 y＝﹣x+m 与抛物线 y＝x ﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程 x ﹣x﹣6
2
2
＝﹣x+m 有相等的实数解，解得 m＝﹣6，
所以当直线 y＝﹣x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
11．如图是二次函数 y＝ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax +bx+c＜0 的解集是
2
2
（
）
A．﹣1＜x＜5
B．x＞5
C．x＜﹣1 且 x＞5 D．x＜﹣1 或 x＞5
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得
出 ax +bx+c＜0 的解集．
2

【解答】解：由图象得：对称轴是 x＝2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax +bx+c＜0 的解集即是 y＜0 的解集，
2
∴x＜﹣1 或 x＞5．
故选：D．
12．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3 米的小正方形组成，
且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1 米，AE
＝AF＝x 米，在五边形 EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x
的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出△AEF 和△DEG 的面积，然后可得到五边形 EFBCG 的面积，继而可得 y
与 x 的函数关系式．
【解答】解：S ＝ AE×AF＝ x ，S ＝ DG×DE＝ ×1×（3﹣x）＝
，
2
△AEF
△DEG
S
＝S
﹣S ﹣S ＝9﹣ x ﹣
＝﹣ x + x+
，
2
2
五边形 EFBCG
正方形 ABCD
△AEF
△DEG

则 y＝4×（﹣ x + x+ ）＝﹣2x +2x+30，
2
2
∵AE＜AD，
∴x＜3，
综上可得：y＝﹣2x +2x+30（0＜x＜3）．
2
故选：A．
13．如图，已知二次函数y＝ax +bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，
2
OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；②4ac﹣b ＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．
2
其中正确的个数是（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对
各结论进行判断．
【解答】解：①观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与 y 轴交于负半轴
c＜0，
∴abc＞0，故正确；
②∵抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b ﹣4ac＞0，即 4ac﹣b ＜0，故错误；
2
2
③当 x＝﹣1 时 y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确
④设 C（0，c），则 OC＝|c|，
∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得 ac +bc+c＝0，又 c≠0，
2
∴ac+b+1＝0，故正确；
故正确的结论有①③④三个，
故选：B．

14．当﹣2≤x≤1 时，二次函数 y＝﹣（x﹣m） +m +1 有最大值 4，则实数 m 的值为（
）
2
2
A．﹣
B．
或
C．2 或
D．2 或
或
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线 x＝m，
①m＜﹣2 时，x＝﹣2 时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m） +m +1＝4，
2
2
解得 m＝﹣ ，与 m＜﹣2 矛盾，故 m 值不存在；
②当﹣2≤m≤1 时，x＝m 时，二次函数有最大值，
此时，m +1＝4，
2
解得 m＝﹣ ，m＝ （舍去）；
③当 m＞1 时，x＝1 时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m） +m +1＝4，
2
2
解得 m＝2，
综上所述，m 的值为 2 或﹣ ．
故选：C．
二．填空题（共 8 小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线 y＝x ﹣2x+2 上运动．过点A 作 AC⊥x 轴于
2
点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 1 ．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得 BD＝AC，
由于 AC 的长等于点 A 的纵坐标，所以当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，
最小值为 1，从而得到 BD 的最小值．
【解答】解：∵y＝x ﹣2x+2＝（x﹣1） +1，
2
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形 ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
2

而 AC⊥x 轴，
∴AC 的长等于点 A 的纵坐标，
当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1，
∴对角线 BD 的最小值为 1．
故答案为 1．
16．二次函数 y＝x ﹣2x+6 的最小值是 5 ．
2
【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．
【解答】解：y＝x ﹣2x+6＝x ﹣2x+1+5
2
2
＝（x﹣1） +5，
2
可见，二次函数的最小值为 5．
故答案为：5．
17．如图，图中二次函数解析式为 y＝ax +bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有 ①③④ （填
2
序号）
①abc＞0；②b ＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
2
【分析】①由抛物线的开口向上、对称轴在 y 轴右侧、抛物线与 y 轴交于 y 轴负半轴，
即可得出 a＞0、b＜0、c＜0，进而可得出 abc＞0，①正确；②由抛物线与x 轴有两个不
同的交点，可得出△＝b ﹣4ac＞0，b ＞4ac，②错误；③由当 x＝﹣2 时 y＞0，可得出
2
2
4a﹣2b+c＞0，③正确；④由抛物线对称轴的大致范围，可得出﹣2a＜b＜0，结合 a＞0、
c＜0 可得出 2a+b＞0＞c，④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在 y 轴右侧，抛物线与 y 轴交于 y
轴负半轴，
∴a＞0，﹣ ＞0，c＜0，
∴b＜0，abc＞0，①正确；
②∵抛物线与 x 轴有两个不同交点，

∴△＝b ﹣4ac＞0，b ＞4ac，②错误；
2
2
③当 x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＞0，③正确；
④∵0＜﹣ ＜1，
∴﹣2a＜b＜0，
∴2a+b＞0＞c，④正确．
故答案为：①③④．
18．将抛物线 y＝3（x﹣4） +2 向右平移 1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，平移后
2
抛物线的解析式是 y＝3（x﹣5） ﹣1 ．
2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：y＝3（x﹣4）+2 向右平移 1 个单位所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）+2；
2
2
再向下平移 3 个单位为：y＝3（x﹣5） ﹣1．
2
故答案为：y＝3（x﹣5） ﹣1．
2
19．若将二次函数 y＝x ﹣2x+3 配方为 y＝（x﹣h） +k 的形式，则 y＝ （x﹣1） +2 ．
2
2
2
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方
式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x ﹣2x+3＝（x ﹣2x+1）+2＝（x﹣1） +2
2
2
2
故本题答案为：y＝（x﹣1） +2．
2
20．如图，已知函数y＝
与 y＝ax +b x（a＞0，b＞0）的图象交于点 P．点 P 的纵坐标为
2
1．则关于 x 的方程 ax +bx+ ＝0 的解为 x＝﹣3 ．
2
【分析】先根据点 P 的纵坐标为 1 求出 x 的值，再把于 x 的方程 ax +bx+ ＝0 化为于 x
2
的方程 ax +bx＝﹣ 的形式，此方程就化为求
2
函数 y＝
与 y＝ax +bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的 P 点坐标即可
2

得出结论．
【解答】解：∵P 的纵坐标为 1，
∴1＝﹣ ，
∴x＝﹣3，
∵ax +bx+ ＝0 化为于 x 的方程 ax +bx＝﹣ 的形式，
2
2
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
21．如图，若抛物线 y＝ax +bx+c 上的 P（4，0），Q 两点关于它的对称轴 x＝1 对称，则 Q
2
点的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】直接利用二次函数的对称性得出 Q 点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax +bx+c 上的 P（4，0），Q 两点关于它的对称轴 x＝1 对称，
2
∴P，Q 两点到对称轴 x＝1 的距离相等，
∴Q 点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
22．如图，四边形 ABCD是矩形，A、B 两点在 x 轴的正半轴上，C、D 两点在抛物线 y＝﹣x +6x
2
上．设 OA＝m（0＜m＜3），矩形 ABCD 的周长为 l，则 l 与 m 的函数解析式为 l＝﹣
2m +8m+12 ．
2
【分析】求 l 与 m 的函数解析式就是把 m 当作已知量，求 l，先求 AD，它的长就是 D 点
的纵坐标，再把 D 点纵坐标代入函数解析式求 C 点横坐标，C 点横坐标与 D 点横坐标的
差就是线段 CD 的长，用 l＝2（AD+CD），建立函数关系式．

【解答】解：把 x＝m 代入抛物线 y＝﹣x +6x 中，得 AD＝﹣m +6m
2
2
把 y＝﹣m +6m 代入抛物线 y＝﹣x +6x 中，得
2
2
﹣m +6m＝﹣x +6x
2
2
解得 x ＝m，x ＝6﹣m
1
2
∴C 的横坐标是 6﹣m，故 AB＝6﹣m﹣m＝6﹣2m
∴矩形的周长是 l＝2（﹣m +6m）+2（6﹣2m）
2
即 l＝﹣2m +8m+12．
2
三．解答题（共 5 小题）
23．如图，已知二次函数 y＝x +bx+c 过点 A（1，0），C（0，﹣3）
2
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法把 A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数 y＝x +bx+c 中，
2
即可算出 b、c 的值，进而得到函数解析式是 y＝x +2x﹣3；
2
（2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长，再设 P（m，n），根据△ABP 的面积为
10 可以计算出 n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出 m 的值即可得到 P 点坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数 y＝x +bx+c 过点 A（1，0），C（0，﹣3），
2
∴
，
解得
，
∴二次函数的解析式为 y＝x +2x﹣3；
2
（2）∵当 y＝0 时，x +2x﹣3＝0，
2

解得：x ＝﹣3，x ＝1；
1
2
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4，
设 P（m，n），
∵△ABP 的面积为 10，
∴ AB |n|＝10，
解得：n＝±5，
当 n＝5 时，m +2m﹣3＝5，
2
解得：m＝﹣4 或 2，
∴P（﹣4，5）（2，5）；
当 n＝﹣5 时，m +2m﹣3＝﹣5，
2
方程无解，
故 P（﹣4，5）（2，5）；
24．已知二次函数 y＝（m﹣2）x +（m+3）x+m+2 的图象过点（0，5）．
2
（1）求 m 的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）把点（0，5）代入函数的解析式中，转化为关于 m 的一元一次方程解答；
（2）求出函数解析式，根据函数解析式就可求出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）∵图象过点（0，5），
由题意：
．解得 m＝3．
∴二次函数解析式为 y＝x +6x+5．
2
（2）∵y＝x +6x+5＝（x+3） ﹣4，
2
2
∴此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线 x＝﹣3．
25．如图，已知二次函数 y＝a（x﹣h） + 的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）．
2
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶
点？

【分析】（1）由于抛物线过点 O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的
对称轴为直线 x＝1；
（2）作A′B⊥x 轴于 B，先根据旋转的性质得OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，再根据含
30 度的直角三角形三边的关系得 OB＝ OA′＝1，A′B＝ OB＝ ，则 A′点的坐标为
（1， ），根据抛物线的顶点式可判断点 A′为抛物线 y＝﹣ （x﹣1） + 的顶点．
2
【解答】解：（1）∵二次函数 y＝a（x﹣h） + 的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）．
2
解得：h＝1，a＝﹣ ，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1；
（2）点 A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作 A′B⊥x 轴于点 B，
∵线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，
在 Rt△A′OB 中，∠OA′B＝30°，
∴OB＝ OA′＝1，
∴A′B＝ OB＝
，
∴A′点的坐标为（1， ），
∴点 A′为抛物线 y＝﹣ （x﹣1） + 的顶点．
2

26．如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，
3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D．
（1）请直接写出 D 点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点 D 的坐标；
（2）设二次函数的解析式为 y＝ax +bx+c（a≠0，a、b、c 常数），把点 A、B、C 的坐标
2
分别代入函数解析式，列出关于系数 a、b、c 的方程组，通过解方程组求得它们的值即
可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，
∴对称轴是 x＝
＝﹣1．
又点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为 y＝ax +bx+c（a≠0，a、b、c 常数），
2
根据题意得
解得
，
，
所以二次函数的解析式为 y＝﹣x ﹣2x+3；
2
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x＜﹣2 或 x＞1．

27．已知二次函数 y＝x +bx+c 的图象与 y 轴交于点 C（0，﹣6），与 x 轴的一个交点坐标是
2
A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 D 的坐标；
（2）将二次函数的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度，当 y＜0 时，求 x 的取值范围．
【分析】（1）将点A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式可求得 b、c 的值，从而得到抛物
线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛
物线与 x 轴的交点坐标，最后依据 y＜0 可求得 x 的取值范围．
【解答】解：（1）∵把 C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C＝﹣6，把 A（﹣2，0）代
入 y＝x +bx﹣6 得：b＝﹣1，
2
∴抛物线的解析式为 y＝x ﹣x﹣6．
2
∴y＝（x﹣ ） ﹣
．
2
∴抛物线的顶点坐标 D（ ，﹣ ）．
（2）二次函数的图形沿 x 轴向左平移 个单位长度得：y＝（x+2） ﹣
．
2
令 y＝0 得：（x+2） ﹣ ＝0，解得：x ＝ ，x ＝﹣ ．
2
1
2
∵a＞0，

∴当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣ ＜x＜ ．

27．已知二次函数 y＝x +bx+c 的图象与 y 轴交于点 C（0，﹣6），与 x 轴的一个交点坐标是
2
A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 D 的坐标；
（2）将二次函数的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度，当 y＜0 时，求 x 的取值范围．
【分析】（1）将点A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式可求得 b、c 的值，从而得到抛物
线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛
物线与 x 轴的交点坐标，最后依据 y＜0 可求得 x 的取值范围．
【解答】解：（1）∵把 C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C＝﹣6，把 A（﹣2，0）代
入 y＝x +bx﹣6 得：b＝﹣1，
2
∴抛物线的解析式为 y＝x ﹣x﹣6．
2
∴y＝（x﹣ ） ﹣
．
2
∴抛物线的顶点坐标 D（ ，﹣ ）．
（2）二次函数的图形沿 x 轴向左平移 个单位长度得：y＝（x+2） ﹣
．
2
令 y＝0 得：（x+2） ﹣ ＝0，解得：x ＝ ，x ＝﹣ ．
2
1
2
∵a＞0，

∴当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣ ＜x＜ ．