北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结.docx

小刘老师亲笔
北师大版九年级数学
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题
知识点：
1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。
a b c
a2 b2
+ =
c2
（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理）
2、如下图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
B
对
边
斜边
c
a
b
A
C
邻边
义
0 < sin A <1
(∠A 为锐角)
ÐA的对边
A
B
斜边
A
B
0 < cos A <1
(∠A 为锐角)
2 A
tan A > 0
(∠A 为锐角)
b
cot A =
A
a
(∠A 为锐角)
cot = tan
A
B
（注：余切函数已经从北师大版教材当中删除，此处仅做扩展，实际中考当中并不会出现，同时删
除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
sin A = cosB
cos A = sin B
sin = cos(90° - )
cos A = sin(90° - A)
A
A
由ÐA + ÐB = 90°
得ÐB = 90° - ÐA
4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要必背)
3
3
1
tan a
3
- 1 -

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6、正弦、余弦的增减性：
当 0°≤a ≤90°时，sina 随a 的增大而增大，cosa 随a 的增大而减小。
7、正切、的增减性：
当 0°<a <90°时，tan 随a 的增大而增大，
a
解直角三角形的定义
1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a2 + b2 = c2 ；②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。(注意：
尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
视线
铅垂线
水平线
视线
i
= h : l
h
α
l
h
(2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即 = 。坡度一般写成1:
i
m
h
l
i
l
的形式，如 =1:5 等。
i
h
把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 = = tan 。
a
a
i
l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 ，OA、OB、OC、OD 的方向
角分别是：45°、135°、225°。指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90°的水平角，叫做方
向角。
3
例 1：已知在Rt△ABC
90 sin
中，Ð = °，
tan B
C
A
= ，则 的值为（ ）
5
A．4
B．
4
5
C．5
4
D．3
4
3
a
b
a
【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在 RTΔABC 中，∠C=90°，则sin = ，tan =
A
B
c
3
a b c a b c
b 4x 4
= = = ，
a 3x 3
和 + = ；由sin = 知，如果设 = ，则 ，结合 + = 得 ；∴
3x
c = 5x
b = 4x
tan
B
A
a
2
2
2
2
2
2
5
所以选 A．
- 2 -

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例2：
4cos30 °sin 60° + (-2) - ( 2009 - 2008)
0
=______．
-1
【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，
3
3
1
3
2 ，
æ
ö
=4´
´
+ - -1=
ç
÷
-1
4cos30 °sin 60° + (-2) - ( 2009 - 2008)0
2
2
2
è ø
故填3
2 ．
1. 某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则
就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
8 3
4 3
A．8 米
B．8 3 米 C． 米 D． 米
3
3
2. 一架 5 米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40 ，则梯子底端到墙的距离为（ ）
°
5
5
A．5sin 40°
B．5cos 40 C．
°
D．
tan 40°
3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 、 分别表示一楼、二楼地面的水平
cos 40°
AB CD
ABC
BC
B C
线，∠ =150°， 的长是 8m，则乘电梯从点 到点 上升的高度
h
是（ ）
C
D
8
A． m
3
B．4 m
D．8 m
h
1
3
A
B
C． m
4 3
B
4. 河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1: （坡比是坡面的
3
铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ）
A．5 3 米
B． 10米
C
A
C．15 米
D．10 3 米
5．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且 AC=10，则 DE 的长度是（ ）
5 2
A．3
B．5
C．
D．
5 2
2
- 3 -

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A
6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，
A
B
A
在点 处看电梯楼顶部点 处的仰角为 60°，在点 处看这栋电梯楼底部点 处的俯角为 45°，两栋
C
BC
楼之间的距离为 30m，则电梯楼的高 为
7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部 B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角
为60°，热气球 A的高度为 240 米，求这栋大楼的高度.
解：过点 A作直线 BC 的垂线，垂足为点 D .
则ÐCDA = 90°，ÐCAD = 60°，ÐBAD = 30°，CD =240 米.
CD
B
240
\ AD =
=
= 80 3.
在
Rt△ABD 中， tanÐBAD =
BD，
AD
C
3
\BD = AD·tan 30°= 80 3´
= 80 .
3
\ BC = CD - BD =240 - 80=160.
答：这栋大楼的高为 160 米.
- 4 -

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8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45°降为 30°，已知
AB
原滑滑板 的长为 4 米，点
D、B、C
在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这
样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据： 2 = 1.141， 3 = 1.732 ， 6 = 2.449，以上结果均保留到小数点后两位．）
Rt△ABC 中，∠ABC=45°
2
∴AC=BC=AB·sin45°=4´
2 2
=
2
Rt△ADC 中，∠ADC=30°
在
AC
1
¸ =
2
∴AD=
2 2
4 2
=
sin 30o
∴AD-AB=4 2 4 1.66
- »
∴改善后滑滑板会加长约 1.66 米
.
（2）这样改造能行，理由如下：
AC
3
∵CD =
= 2 2 ¸
= 2 6 » 4.989
tan 30o
3
∴BD = CD - BC = 2 6 2 2 2.07
-
»
∴6-2.07≈3.93＞3
∴这样改造能行.
练一练
1
æ ö
0
2sin 60°-3tan 30°+
+ (-1)2009
ç ÷
3
è ø
1
æ ö-1
9．求值| 3 - 2 | +2009 - -
ç ÷
+ 3tan 30°
0
3
è ø
原式=．
解：原式=
- 5 -

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- 6 -

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8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45°降为 30°，已知
AB
原滑滑板 的长为 4 米，点
D、B、C
在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这
样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据： 2 = 1.141， 3 = 1.732 ， 6 = 2.449，以上结果均保留到小数点后两位．）
Rt△ABC 中，∠ABC=45°
2
∴AC=BC=AB·sin45°=4´
2 2
=
2
Rt△ADC 中，∠ADC=30°
在
AC
1
¸ =
2
∴AD=
2 2
4 2
=
sin 30o
∴AD-AB=4 2 4 1.66
- »
∴改善后滑滑板会加长约 1.66 米
.
（2）这样改造能行，理由如下：
AC
3
∵CD =
= 2 2 ¸
= 2 6 » 4.989
tan 30o
3
∴BD = CD - BC = 2 6 2 2 2.07
-
»
∴6-2.07≈3.93＞3
∴这样改造能行.
练一练
1
æ ö
0
2sin 60°-3tan 30°+
+ (-1)2009
ç ÷
3
è ø
1
æ ö-1
9．求值| 3 - 2 | +2009 - -
ç ÷
+ 3tan 30°
0
3
è ø
原式=．
解：原式=
- 5 -

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- 6 -

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8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45°降为 30°，已知
AB
原滑滑板 的长为 4 米，点
D、B、C
在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这
样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据： 2 = 1.141， 3 = 1.732 ， 6 = 2.449，以上结果均保留到小数点后两位．）
Rt△ABC 中，∠ABC=45°
2
∴AC=BC=AB·sin45°=4´
2 2
=
2
Rt△ADC 中，∠ADC=30°
在
AC
1
¸ =
2
∴AD=
2 2
4 2
=
sin 30o
∴AD-AB=4 2 4 1.66
- »
∴改善后滑滑板会加长约 1.66 米
.
（2）这样改造能行，理由如下：
AC
3
∵CD =
= 2 2 ¸
= 2 6 » 4.989
tan 30o
3
∴BD = CD - BC = 2 6 2 2 2.07
-
»
∴6-2.07≈3.93＞3
∴这样改造能行.
练一练
1
æ ö
0
2sin 60°-3tan 30°+
+ (-1)2009
ç ÷
3
è ø
1
æ ö-1
9．求值| 3 - 2 | +2009 - -
ç ÷
+ 3tan 30°
0
3
è ø
原式=．
解：原式=
- 5 -

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- 6 -

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8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45°降为 30°，已知
AB
原滑滑板 的长为 4 米，点
D、B、C
在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这
样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据： 2 = 1.141， 3 = 1.732 ， 6 = 2.449，以上结果均保留到小数点后两位．）
Rt△ABC 中，∠ABC=45°
2
∴AC=BC=AB·sin45°=4´
2 2
=
2
Rt△ADC 中，∠ADC=30°
在
AC
1
¸ =
2
∴AD=
2 2
4 2
=
sin 30o
∴AD-AB=4 2 4 1.66
- »
∴改善后滑滑板会加长约 1.66 米
.
（2）这样改造能行，理由如下：
AC
3
∵CD =
= 2 2 ¸
= 2 6 » 4.989
tan 30o
3
∴BD = CD - BC = 2 6 2 2 2.07
-
»
∴6-2.07≈3.93＞3
∴这样改造能行.
练一练
1
æ ö
0
2sin 60°-3tan 30°+
+ (-1)2009
ç ÷
3
è ø
1
æ ö-1
9．求值| 3 - 2 | +2009 - -
ç ÷
+ 3tan 30°
0
3
è ø
原式=．
解：原式=
- 5 -

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