1、第六章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式恒成立的是()A.0B.C(ab)ca(bc)D(ab)cacbc答案D解析由数量积满足分配律可知D正确2ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则角C的大小为()A. B. C. D.答案B解析pq(ac)(ca)b(ba)0，即c2a2b2ab0cosC，0C，C.故选B.3在五边形ABCDE中(如图)
2、，()A. B.C. D.答案B解析.4已知ab(2，8)，ab(8,16)，则a与b之间的夹角的余弦值为()A. B C D.答案B解析由ab(2，8)，ab(8,16)，得a(3，4)，b(5，12)，所以|a|5，|b|13，ab63，故cosa，b.5已知i(1,0)，j(0,1)，则与2i3j垂直的向量是()A3i2j B2i3jC3i2j D2i3j答案C解析2i3j(2,3)，选项C中3i2j(3,2)因为2(3)320，所以2i3j与3i2j垂直6在ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若(bc)sinB2csinC且a，cosA，则ABC的面积等于()A. B.
3、 C3 D3答案A解析由正弦定理，得(bc)b2c2，得b2bc2c20，得b2c或bc(舍去)由a2b2c22bccosA，得c2，则b4.由cosA知，sinA.所以SABCbcsinA42.故选A.7向量a与b不共线，akb，lab(k，lR)，且A与A共线，则k，l应满足()Akl0 Bkl0Ckl10 Dkl10答案D解析因为与共线，所以设(R)，即lab(akb)akb，所以(l)a(1k)b0.因为a与b不共线，所以l0且1k0.消去得1lk0，所以kl10.8在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2 C3 D4答案B解析
4、由已知得BC，BCD135，所以()()cos1801cos1352cos4521cos02.9已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析设a与b的夹角为，|a|24ab0，ab，cos.0，.10已知非零向量与满足0，且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B等腰直角三角形C等边三角形D以上均有可能答案C解析0，A的平分线所在的向量与垂直，所以ABC为等腰三角形又，cosA，A.故ABC为等边三角形11在ABC中，BB3，SABC，则B的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意知accosB3，所以
5、ac，SABCacsinBsinBtanB.因为SABC，所以tanB，所以B.故选C.12设两个向量a(2，2cos2)和b，其中，m，为实数，若a2b，则的取值范围是()A6,1 B4,8C(，1 D1,6答案A解析由a2b，得所以又cos22sinsin22sin1(sin1)22，所以2cos22sin2.所以22m2.将2(2m2)2代入上式，得2(2m2)2m2，解得m2，所以26,1第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知在ABC中，ab，A，B，则a的值为_答案33解析由正弦定理，得ba.由abaa，解得a33.
6、14已知向量a(2,1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析由向量a(2,1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则解得故mn3.15设O在ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|O2|1，则|O2O3O|_.答案2解析如图所示，易知|O2O3O|OO2(OO)|2O4O|2|O2O|2.16ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).答案解析2a，2ab，a，b.又ABC是边长为2的等边三角形，|a|1，|b|
7、2，正确，错误；由b，知b，正确；4ab2，(4ab)()220，(4ab)，正确故正确三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解解法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb296112.|3ab|2.解法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab|2.18(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a
8、，b，c.已知cosC.(1)若，求ABC的面积；(2)设向量x，y，且xy，求sin(BA)的值解(1)由，得abcosC.又因为cosC，所以ab.又C为ABC的内角，所以sinC.所以ABC的面积SabsinC3.(2)因为xy，所以2sincoscosB，即sinBcosB，因为cosB0，所以tanB.因为B为三角形的内角，所以B.所以AC，所以AC.所以sin(BA)sinsinsinCcosC.19(本小题满分12分)已知|a|，|b|，ab5，cxa(1x)b.(1)当bc时，求实数x的值；(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值解(1)bc，bcbxa(1x)bx
9、ba(1x)b2x(5)(1x)50，解得x.(2)|c|2|xa(1x)b|2x2a22x(1x)ab(1x)2b210x210x(1x)5(x1)225x220x52521.当x时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1.此时，cab.acaa2ab10(5)1，设向量a，c的夹角为，当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值cos.20(本小题满分12分)一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行设C地恰好在A地的南偏西60方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移解如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处则A(0,0)，B(1
10、000cos30，1000sin30)，即B(500，500)，C(2000cos30，2000sin30)，即C(1000，1000)(500，1500)| 1000 (km)设正南方向的单位向量为j(0，1)，则与正南方向的夹角满足cos，30，由图形可知的方向是南偏西30.21(本小题满分12分)设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)若ab，2a3b，2akb，且A，C，D三点共线，求k的值解(1)证明：因为a2b，a2b，所以.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线(2)设8akb(
11、ka2b)，R，则解得或所以实数k的值为4.(3)(ab)(2a3b)3a2b，因为A，C，D三点共线，所以与共线从而存在实数使，即3a2b(2akb)，所以解得所以k.22(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()，若存在，求出满足条件的实数的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)，所以cosOCMcos，.(2)设P(t，)，其中1t5，(t，)，(6t，)，(2，)，若()，则()0，即122t30(2t3)12，若t，则不存在，若t，则，因为t，故(，12.- 11 -
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
