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第六章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列等式恒成立的是( )
A.＋＝0
B.－＝
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
答案 D
解析 由数量积满足分配律可知D正确．
2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0⇒＝＝cosC，
∵0<C<π，∴C＝.故选B.
3．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ＋－＝＋＝.
4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a与b之间的夹角的余弦值为( )
A. B．－ C．± D.
答案 B
解析 由a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，得a＝(－3，4)，b＝(5，－12)，所以|a|＝5，|b|＝13，a·b＝－63，故cos〈a，b〉＝＝－.
5．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则与2i＋3j垂直的向量是( )
A．3i＋2j B．－2i＋3j
C．－3i＋2j D．2i－3j
答案 C
解析 2i＋3j＝(2,3)，选项C中－3i＋2j＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i＋3j与－3i＋2j垂直．
6．在△ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若(b－c)sinB＝2csinC且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于( )
A. B. C．3 D．3
答案 A
解析 由正弦定理，得(b－c)·b＝2c2，得b2－bc－2c2＝0，得b＝2c或b＝－c(舍去)．
由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c＝2，则b＝4.
由cosA＝知，sinA＝.
所以S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.故选A.
7．向量a与b不共线，＝a＋kb，＝la＋b(k，l∈R)，且A与A共线，则k，l应满足( )
A．k＋l＝0 B．k－l＝0
C．kl＋1＝0 D．kl－1＝0
答案 D
解析 因为与共线，所以设＝λ(λ∈R)，即la＋b＝λ(a＋kb)＝λa＋λkb，所以(l－λ)a＋(1－λk)b＝0.因为a与b不共线，所以l－λ＝0且1－λk＝0.消去λ得1－lk＝0，所以kl－1＝0.
8．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由已知得BC＝，∠BCD＝135°，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝××cos180°＋×1×cos135°＋2××cos45°＋2×1×cos0°＝2.
9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为θ，
∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴a·b≤，
∴cosθ＝≤＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
10．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．以上均有可能
答案 C
解析 ∵·＝0，∴∠A的平分线所在的向量与垂直，所以△ABC为等腰三角形．又·＝，
∴cosA＝，∴∠A＝.故△ABC为等边三角形．
11．在△ABC中，B·B＝3，S△ABC∈，则B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知ac·cosB＝3，所以ac＝，
S△ABC＝ac·sinB＝××sinB＝tanB.
因为S△ABC∈，所以tanB∈，
所以B∈.故选C.
12．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是( )
A．[－6,1] B．[4,8]
C．(－∞，1] D．[－1,6]
答案 A
解析 由a＝2b，得
所以
又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2，
所以－2≤cos2α＋2sinα≤2.
所以－2≤λ2－m≤2.
将λ2＝(2m－2)2代入上式，
得－2≤(2m－2)2－m≤2，
解得≤m≤2，
所以＝＝2－∈[－6,1]．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知在△ABC中，a＋b＝，A＝，B＝，则a的值为________．
答案 3－3
解析 由正弦定理，得b＝＝a.由a＋b＝a＋a＝，解得a＝3－3.
14．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案 －3
解析 由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则解得故m－n＝－3.
15．设O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|O＋2|＝1，则|O＋2O＋3O|＝________.
答案 2
解析 如图所示，易知|O＋2O＋3O|＝|O＋O＋2(O＋O)|＝|2O＋4O|＝2|O＋2O|＝2.
16．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.
答案 ①④⑤
解析 ∵＝2a，＝2a＋b，∴a＝，b＝.又△ABC是边长为2的等边三角形，∴|a|＝1，|b|＝2，①正确，②，③错误；由b＝，知b∥，④正确；∵4a＋b＝2＋＝＋，∴(4a＋b)·＝(＋)·＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥，⑤正确．故①④⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
解 解法一：∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6×＋1＝12.
∴|3a＋b|＝2.
解法二：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝＝3.
∴x1x2＋y1y2＝.
∴|3a＋b|＝
＝＝2.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosC＝.
(1)若·＝，求△ABC的面积；
(2)设向量x＝，y＝，且x∥y，求sin(B－A)的值．
解 (1)由·＝，得abcosC＝.
又因为cosC＝，所以ab＝＝.
又C为△ABC的内角，所以sinC＝.
所以△ABC的面积S＝absinC＝3.
(2)因为x∥y，所以2sincos＝cosB，
即sinB＝cosB，
因为cosB≠0，所以tanB＝.
因为B为三角形的内角，所以B＝.
所以A＋C＝，所以A＝－C.
所以sin(B－A)＝sin＝sin
＝sinC－cosC＝×－×＝.
19．(本小题满分12分)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)当b⊥c时，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
解 (1)∵b⊥c，∴b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0，
解得x＝.
(2)|c|2＝|xa＋(1－x)b|2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2＝25x2－20x＋5
＝252＋1.
当x＝时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1.
此时，c＝a＋b.
a·c＝a·＝a2＋a·b
＝×10＋×(－5)＝1，
设向量a，c的夹角为θ，当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值cosθ＝＝＝.
20．(本小题满分12分)一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移．
解 如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处．
则A(0,0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)，
即B(－500，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)，
即C(－1000，－1000)．
∴＝(－500，－1500)．
∴||＝ ＝1000 (km)．
设正南方向的单位向量为j＝(0，－1)，
则与正南方向的夹角θ满足
cosθ＝＝＝，
∴θ＝30°，由图形可知的方向是南偏西30°.
21．(本小题满分12分)设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．
解 (1)证明：因为＝－＝a＋2b，＝－＝－a－2b，
所以＝－.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线．
(2)设8a＋kb＝λ(ka＋2b)，λ∈R，则
解得或
所以实数k的值为±4.
(3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，
因为A，C，D三点共线，所以与共线．
从而存在实数μ使＝μ，
即3a－2b＝μ(2a－kb)，
所以解得所以k＝.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)，
所以cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，
－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)，
若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，
若t＝，则λ不存在，
若t≠，则λ＝，
因为t∈∪，
故λ∈(－∞，－12]∪.
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