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第七章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由ab＝0，得a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，则a＋＝a－bi不一定为纯虚数；若a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.综上，可知选B．
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
答案 A
解析 因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.
3．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 B
解析 ∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，
∴解得a＝0.
4．如果复数z＝，则( )
A．|z|＝2
B．z的实部为1
C．z的虚部为－1
D．z的共轭复数为1＋i
答案 C
解析 因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C．
5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
答案 A
解析 由题意知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
6．对于下列四个命题：
①任何复数的模都是非负数；
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆；
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0；
④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 D
解析 ①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0；②正确．因为|z1|＝，|z2|＝ ＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上；③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等，都是1；④正确．故选D．
7．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 z＝＝＝＝－－i，则＝－＋i，在复平面内对应的点在第二象限．故选B．
8．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量P对应的复数是( )
A． B．－3－i
C．1＋i D．3＋i
答案 D
解析 ∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D．
9．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以解得所以z＝1－2i.故选B．
10．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
答案 A
解析 由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|＋1)＝0.
∵|z|＋1>0，∴|z|－3＝0，即|z|＝3.
∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．故选A．
11．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B．－1
C．3＋2 D．＋1
答案 D
解析 |z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|
＝
＝
＝≤ ＋1.
12．若复数z1z2≠0，则z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的( )
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案 D
解析 z1，z2都是复数，复数z1z2≠0成立，则z1，z2是非零复数，此时当z2＝1时，表明两复数z1，z2是一对共轭复数，故z1z2＝|z1|2，|z1z2|＝|z1|2，能得出z1z2＝|z1z2|成立；反之，若z1z2＝|z1z2|成立，当z1z2是正实数时，不一定能得出z2＝1.
故可得出z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的必要不充分条件．故选D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
答案 ±(7－i)
解析 由题意，设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝＝.
∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
14．在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是________．
答案 2－i
解析 设正方形四个顶点A，B，C，D对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，a＋bi，O为复平面的原点，则＝(1,2)，＝(－2,1)，＝(－1，－2)，＝(a，b)，＝－＝(－3，－1)．
＝(1，－3)，则·＝0，∴AB⊥BC，又四边形ABCD为正方形，∴＝，即(－3，－1)＝－＝(－1－a，－2－b)，
∴∴∴＝(2，－1)．
即第四个复数是2－i.
15．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
答案
解析 ∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
16．已知复数z满足z＋＝2(i为虚数单位)，其中是z的共轭复数，|z|＝，则复数z的虚部为________．
答案 ±1
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z＋＝2可得2a＝2，解得a＝1，由z＝1＋bi，|z|＝＝，解得b＝±1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．
(1)复数z与复数2－12i相等；
(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方．
解 (1)根据复数相等的充要条件，得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义，得
解得m＝1.
(3)由题意，知m2－2m－15＞0，
解得m＜－3或m＞5，
故实数m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
18．(本小题满分12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
解 (1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，
所以a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.
(3)因为z＝0，所以所以a＝1.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，
求的值．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵|z|＝1＋3i－z，
∴ －1－3i＋a＋bi＝0，
即
解得∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
20．(本小题满分12分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．
解 ∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i，
z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，
∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i.
∴解得
21．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
解 (1)x∈R时，由方程得
(x2－3x)＋(2x－6)i＝0.
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程整理，得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则得或
故x＝3或x＝－2i.
22．(本小题满分12分)已知复数z1＝a＋2i，z2＝3－4i(a∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1·z2是纯虚数，求实数a的值；
(2)若复数z1·z2在复平面上对应的点在第二象限，且|z1|≤4，求实数a的取值范围．
解 (1)z1·z2＝(a＋2i)·(3－4i)＝(3a＋8)＋(－4a＋6)i，
因为z1·z2是纯虚数，故3a＋8＝0，
且－4a＋6≠0，故a＝－.
(2)|z1|≤4⇒a2＋4≤16⇒a2≤12⇒－2≤a≤2，根据题意z1·z2在复平面上对应的点在第二象限，可得
即a<－，
综上，实数a的取值范围为－2≤a<－}.
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