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课时素养评价 二十五
函数的应用(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则下列结论中正确的是 ( )
A.x>22%
B.x<22%
C.x=22%
D.x的大小由第一年产量确定
【解析】选B.由题意设第一年产量为a,则第三年产量为a(1+44%)=a(1+x)2,所以x=0.2.
2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=x∈N,其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为 ( )
A.15 B.40 C.25 D.130
【解析】选C.若4x=60,则x=15>10,不符合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不符合题意.故拟录用人数为25人.
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数:m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为 ( )
A.30元 B.42元
C.54元 D.越高越好
【解析】选B.设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.
由题意得,y=m(x-30)=(x-30)(162-3x).
上式配方得y=-3(x-42)2+432.
所以当x=42时,利润最大.
4.(多选题)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法正确的是 ( )
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
【解析】选B、D.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.某商人将彩电先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚144元,那么每台彩电原价是______元,实际售价为______元.
【解析】设每台彩电原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1 200+144=1 344(元).
答案:1 200 1 344
6.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大,每辆车的月租金应该定为________.
【解析】设每辆车的月租金定为x元,
则租赁公司的月收益为f(x)
=(100-)(x-150)-×50,
整理得f(x)=-+162x-21 000
=-(x-4 050)2+307 050,
所以当x=4 050时f(x)最大,
最大值为f(4 050)=307 050,
即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为
307 050元.
答案:4 050元
三、解答题(共26分)
7.(12分)某市出租车的计价标准是:3 km以内(含3 km)10元;超出3 km但不超过18 km的部分1元/km;超出18 km的部分2元/km.
(1)如果某人乘车行驶了20 km,他要付多少车费?某人乘车行驶了x km,他要付多少车费?
(2)如果某人付了22元的车费,他乘车坐了多远?某人付了10+x(x>0)元的车费,他乘车坐了多远?
【解析】(1)乘车行驶了20 km,付费分三部分:前3 km付费10(元),3 km到18 km付费(18-3)×1=15(元),18 km到20 km付费(20-18)×2=4(元),故总付费10+15+4=29(元).
设付车费y元,当0<x≤3时,车费y=10;
当3<x≤18时,车费y=10+(x-3)=x+7;
当x>18时,车费y=25+2(x-18)=2x-11,
故y=
(2)付出22元的车费,说明此人乘车行驶的路程大于3 km,且小于18 km.
前3 km付费10元,余下的12元乘车行驶了12 km,故此人乘车行驶了15 km.
即付出22元的车费,此人乘车行驶了15 km.
设乘车行驶了y km,某人付了10+x(x>0)元的车费,故当0<x≤15时,y=3+x;
当x>15时,y=18+=x+.
所以y=
8.(14分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高,经济效益好的特点,研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每条鱼的平均生长速度V(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:条/立方米)的函数,当0<x≤4时,V=2;当4<x≤20时,V是x的一次函数,当x=20时,因缺氧等原因,V=0.
(1)当0<x≤20时求函数V关于x的函数表达式.
(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x)=x·V(x)可以达到最大?并求出最大值.
【解析】(1)由题意:当0<x≤4时,V(x)=2.
当4<x≤20时,设V(x)=ax+b,显然V(x)=ax+b在[4,20]上是减函数,由已知得解得a=-,b=,
故函数V(x)=
(2)依题意并由(1)得
f(x)=
当0<x≤4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8.
当4<x≤20时,f(x)=-x2+x
=-(x-10)2+12.5,f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.
当养殖密度为10条/立方米时,
鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为12.5
千克/立方米.
(15分钟·30分)
1.(4分)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y应分别为 ( )
A.15,12 B.12,15
C.15,20 D.15,24
【解析】选A.由题图知x,y满足关系式=,即y=24-x,矩形的面积S=xy=x=-(x-15)2+180,故x=15,y=12时S取最大值.
2.(4分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)所组成的有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示,且Q与t满足一次函数关系,那么在这30天中第几天日交易额最大 ( )
第t天
4
10
16
22
Q/万股
36
30
24
18
A.10 B.15 C.20 D.25
【解析】选B.当0<t<20时,设P=at+b,
则由题意可知其图象过点(0,2),(20,6),
所以,
解得b=2,a=,
所以P=t+2;
同理可得当20≤t≤30时,P=-t+8,
综上可得,P=,
由题意可设Q=kt+m,把(4,36),(10,30)代入可得,解得k=-1,m=40,
所以Q=-t+40;
所以y=P·Q
=,
当0<t<20时,t=15时,ymax=125万元,
当20≤t≤30时,t=20时,ymax=120万元,
综上可得,第15日的交易额最大为125万元.
3.(4分)生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2- 75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获利润最大时生产的机器台数为________台.
【解析】设该厂获利润为g(x),则g(x)=25x-y=25x-(x2-75x)=-x2+100x=-(x-50)2 +2 500,当x=50时,g(x)有最大值2 500万元.
答案:50
4.(4分)为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为________元.
【解析】依题意,价值为x元和实际付款数f(x)之间的函数关系式为
f(x)=
当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.所以两次共购得价值为470+168=638(元)的商品,所以500×0.9+(638-500)×0.7=546.6(元),故若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.
答案:546.6
5.(14分)如图,用长为12米的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架窗户,若半圆半径为x米.
(1)求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域.
(2)求半圆的半径是多长时窗户透光的面积最大?
【解析】(1)由题意可知:下部为矩形且一边长AB=2x米,另一边长AD=米.
所以f(x)=+2x·
=-x2+12x,
由得0<x<,
所以函数的定义域为.
(2)因为x∈且函数y=f(x)图象开口向下,
所以当x=时,函数取得最大值.
所以当半圆的半径x=时,窗户透光的面积最大.
【加练·固】某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:
f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:
(1)求a的值.
(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由.
(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?
【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,
即100·-60=140,解得,a=4.
(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,
由于f(5)>f(35),
故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.
(3)①当0≤x≤10时,
由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10],
②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;
③当20<x≤40时,-15x+640≥140,
故20<x≤,综上所述,5≤x≤,
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持-5=分钟.
1.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年.
【解析】由题意知,第一年产量为y1=×1×2×3=3;
以后各年产量分别为
yn=f(n)-f(n-1)
=n(n+1)(2n+1)-n(n-1)(2n-1)
=3n2(n∈N*),
令3n2≤150,得1≤n≤5⇒1≤n≤7,
故生产期限最长为7年.
答案:7
2.近年来“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2.设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司在甲、乙两个城市的总收益.
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?最大收益是多少?
【解析】(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益
f(50)=3-6+×70+2
=43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资x万元,
乙城市投资(120-x)万元,
所以f(x)=3-6+(120-x)+2
=-x+3+26,
依题意得
解得40≤x≤80.
所以f(x)=-x+3+26(40≤x≤80),
令t=,则t∈[2,4],
所以y=-t2+3t+26
=-(t-6)2+44.
当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元.
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
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