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课时跟踪检测（二十五） 对数函数的概念
A级——学考水平达标练
1．函数f(x)＝ 的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C 若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f(1)＝1，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ∵f(1)＝loga(1＋1)＝1，∴a1＝2，则a＝2，故选C.
3．函数f(x)＝lg(x－1)＋ 的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
解析：选A 由题意得所以1＜x≤4.
4．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为( )
A．lg 101 B．1
C．2 D．0
解析：选C f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2.
5．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D．
解析：选C 由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
6．函数y＝的定义域是________．
解析：由题意得2－log3x≥0，
所以log3x≤2＝log39.所以0＜x≤9.
答案：(0,9]
7．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.
解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5.
答案：5
8．已知下列函数：
①y＝log(－x)(x＜0)；
②y＝2log4(x－1)(x＞1)；
③y＝ln x(x＞0)；
④y＝loga2＋ax(x＞0，a是常数)．
其中为对数函数的是________(只填序号)．
解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③.
答案：③
9．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
解：∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，∴a<.
又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<，
∴实数a的取值范围为(0,1)∪.
10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解：(1)设V＝k·log3，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．
B级——高考水平高分练
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)
解析：选A 若要函数有意义，则解得－1＜x＜3.
2．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________.
解析：f()＝log3＋log＝－＝0.
答案：0
3．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
4．已知函数f(x)＝log2.
(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
解：(1)要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知
解得<a<.
故所求a的取值范围为.
(2)要使f(x)的值域为R，则有t＝ax2＋(a－1)x＋的值域必须包含(0，＋∞)．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上，
∴即0<a≤或a≥.
故所求a的取值范围为∪.
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