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课时跟踪检测（十八） 函数的应用(一)
A级——学考水平达标练
1．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计( )
A．280元 B．320元
C．340元 D．360元
解析：选D 由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40,1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可以获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．
2．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
解析：选D 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7，故选D.
3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量呈一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．3 100元 B．3 000元
C．2 900元 D．2 800元
解析：选B 设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，
则解得
∴y＝5 000x＋3 000，
当x＝0时，y＝3 000，∴营销人员没有销售量时的收入是3 000元．
4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
解析：选B 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元. 由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)·(162－3x)．上式配方得y＝－3(x－42)2＋432. 所以当x＝42时，利润最大．
5．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．
解析：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.
故v＝35 km/h时，耗油量最少．
答案：35
6．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x＝10时，顾客一次购草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．
②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.
答案：130 15
7．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解：(1)由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,200]时，代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，
从而y＝10x－1 000；
x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，
从而y＝15x－2 500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000，得x>，故每天至少需要卖出234张门票．
8．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，R(x)max＝－(210－220)2＋1 680
＝1 660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
B级——高考水平高分练
1．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为________m.
解析：根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x<0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m.
答案：7.5
2．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．
得所以
所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，
有y＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的．
3．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止第几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元．
解：(1)由二次函数图象可设S与t的函数关系式为
S＝at2＋bt＋c.
由题意，得或
或
无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0，
所以所求函数关系式为S＝t2－2t.
(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
所以截止第10个月末公司累积利润可达到30万元．
(3)把t＝7代入，得
S＝×72－2×7＝＝10.5(万元)，
把t＝8代入，得
S＝×82－2×8＝16(万元)，
则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，
所以第八个月公司所获利润为5.5万元．
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